390
правок
Изменения
м
'''Конкатенацией''' строк <tex>\alpha = \sumSigma^k</tex> и {{---}} множество цепочек длины <tex>\beta = \sum^mk</tex> является строка над алфавитом <tex>\alpha\beta = \sum^{k+m}Sigma</tex>. Конкатенация является ассоциативной операцией.
'''Нейтральным элементом''' <tex>\varepsilon Sigma^* = \in bigcup \sum^limits _{k=0}^\infty \Sigma^k</tex> называется элемент, для которого верно {{---}} множество всех цепочек над алфавитом <tex>\alpha\varepsilon=\epsilon\alpha=\alphaSigma</tex>.
Нейтральный элемент превращает {{Определение|id = defconcat|definition =Пусть <tex>\sumalpha,\ \beta \in \Sigma^*</tex> . Тогда <tex> \alpha \cdot \beta </tex> или <tex> \alpha \beta </tex> обозначает их '''конкатенацию''' (англ. ''concatenation''), то есть цепочку, в свободный моноидкоторой последовательно записаны цепочки <tex> \alpha </tex> и <tex> \beta </tex>.}} {{Определение|definition ='''Пустая цепочка''' (англ. ''empty string'') {{---}} цепочка, порожденный не содержащая ни одного символа. Эту цепочку, обозначаемую <tex>\sumvarepsilon </tex>, можно рассматривать как цепочку в любом алфавите. Для любой строки <tex>\alpha \in \Sigma^k</tex> верно <tex> : \alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha</tex>.}}
Зададим группу Множество строк с элементами <tex>a, 0, +</tex>операцией ''конкатенации'' и нейтральным элементом ''пустой строкой'' образует [[Моноид|свободный моноид]]. ==Отношения между строками==
Строка Пусть <tex>aaabaabab\beta = abr\underline{aca}dabra</tex>, тогда <tex>\alpha = aca</tex> {{-- примитивная -}} подстрока строки <tex>(p = n)\beta</tex>.
Строка <tex>abaababaabaab {{Определение|id=repetition|definition= '''Тандемным повтором''' (abaababaангл. ''repetition'')(abaab)</tex> - слабопериодическая с периодом называется непустая строка вида <texmath>p = 8</tex>, порядком <tex>r = 13/8\alpha\alpha</texmath>.}}
Строка {{Определение|id=palindrome|definition='''Палиндромом''' (англ. <i>Palindrome</i>) называется строка вида <tex>\alpha\overline{\alpha}</tex> или <tex>\alpha c\overline{\alpha}</tex>, где <tex>abaabaab = (aba)^2(ab)\overline{\alpha}</tex> {{- сильнопериодическая с периодом --}} развернутая строка <tex>p = 3\alpha</tex>, порядком <tex>r = 8/3c</tex>{{---}} любой символ.}}
Строка '''Язык''' (англ. ''language'') над алфавитом <tex>\alpha \le \betaSigma</tex>, если:* {{---}} некоторое подмножество <tex>\alpha</tex> префикс <tex>\beta</tex>Sigma^* <tex>\gamma</tex> общий префикс <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex>, <tex>\alpha = \gamma c \delta</tex>. Иногда такие языки называют '''формальными''' (англ. ''formal''), <tex>\beta = \gamma d \xi</tex> и <tex>c < d</tex>чтобы подчеркнуть отличие от языков в привычном смысле.
→Примеры
== Базовые определения ==
{{Определение
|definition='''Символ''' (англ. ''symbol'') {{---}} объект, имеющий собственное содержание и уникальную читаемую форму.
}}
{{Определение
|id=alphabet
|definition =
'''АлфавитомАлфавит''' (англ. ''alphabet'') {{---}} конечное непустое [[Множества|множество]] символов. Условимся обозначать алфавит большой греческой буквой <tex>\sumSigma</tex> называется конечное непустое .}} Наиболее часто используются следующие алфавиты:* <tex>\Sigma=\{0, 1\}</tex> {{---}} бинарный или двоичный алфавит.* <tex>\Sigma=\{a, b, \dots,z\}</tex> {{---}} множество строчных букв английского алфавита.* <tex>\Sigma = \left\{0, 1, 2, \dots, 9\right\} </tex> {{---}} алфавит цифр.* <tex>\Sigma = \left\{\cdot, -\right\} </tex> {{---}} алфавит, лежащий в основе азбуки Морзе.* Нотные знаки {{Определение|id=string|definition ='''Слово''' (англ. ''string'') или '''цепочка''' {{---}} конечная последовательность символовнекоторого алфавита.
}}
{{Определение
|definition =
'''ЦепочкойДлина цепочки''' (словом, строкойангл. ''string length'') конечной длины обозначим {{---}} число символов в цепочке. Длину некоторой цепочки <tex>w</tex> обычно обозначают <tex>\sum^* : \sum^* = \bigcup\limits_{n \in \mathbb N} \sum^n|w|</tex>.
}}
{{Определение
|definition =
}}
{{Определение
|definition =
}}
{{Определение
|id=prefix|definition =Алгебраическая структура называется '''свободнойПрефикс''' (англ. ''prefix'', если для нее нельзя задать порождающие соотношения с конечного множества) строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha : \beta = \alpha \gamma</tex>.
}}
Пусть <tex>\beta =\underline{abr}acadabra</tex>, тогда <tex>\alpha = Отношения между строками ==abr</tex> {{---}} префикс <tex>\beta</tex>.
{{Определение
|id=suffix|definition =<tex>\alpha</tex> называется '''префиксомСуффикс''' (англ. ''suffix'' ) строки <tex>\beta</tex>, если {{---}} строка <tex>\alpha : \beta = \gamma \alpha \gamma</tex>. Аналогично определяется '''суффикс''' строки.
}}
Пусть <tex>\beta = abracadabraabracada\underline{bra}</tex>, тогда*если <tex>\alpha = abrac</tex>, то <tex>\alphabra</tex> является префиксом {{---}} суффикс <tex>\beta</tex>*если <tex>\alpha = adabra</tex>, то суффиксом.
{{Определение
|id=border|definition =<tex>\alpha</tex> называется '''бордеромБордер''' (англ. ''circumfix'' ) строки <tex>\beta</tex>, если {{---}} строка <tex>\alpha: \beta = \gamma \alpha = \alpha \eta</tex> одновременно является и суффиксом и префиксом.
}}
Пусть <tex>\beta = abracadabra\underline{abra}cad\underline{abra}</tex>, тогда <tex>\alpha = abra</tex> будет бордером {{---}} бордер <tex>\beta</tex>. {{Определение|id=ind|definition=<tex>\alpha[i]</tex> {{---}} символ строки <tex>\alpha</tex>, находящийся на <tex>i</tex>-ой позиции.}}
Пусть <tex>\beta = cacao</tex>, тогда <tex>\beta[1] = c, \beta[4] = a </tex>.
{{Определение
|id=period|definition ='''Период''' (англ. ''period'') строки <tex>\alpha</tex> {{---}} число <tex>p : \forall i = 1 \ldots |\alpha| - p, \alpha [i] = \alpha[i + p]</tex>. }} Пусть <tex>\alpha = acaacaa</tex>, тогда <tex>p = 3</tex> {{---}} период строки <tex>\alpha = acaacaa</tex>. {{Утверждение|statement=Пусть известна строка <tex>x = \sum^ntau</tex> имеет минимальный {{---}} период <tex>p\alpha</tex> и <tex>|\alpha|</tex>, тогда можно восстановить всю строку <tex>\alpha</tex>.|proof=Из определения периода строки следует, что <tex>r \alpha[1 \dots |\tau|] = n \alpha[|\tau| + 1 \dots 2 \cdot |\tau|] = \dots = \alpha[|\tau| \cdot (k - 1) + 1 \dots |\tau| \cdot k] </ ptex>, где <tex>k = </tex> и <texdpi="140">u = \sum^pleft\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \right\rfloor</tex>. Тогда декомпозиция Таким образом <tex>\alpha = </tex>x <tex dpi="140">\sum \limits_{i= u1}^p {\left\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \right\rfloor}</tex> называется '''нормальной формой''' строковой последовательности <tex>x\tau + \tau[1 \dots |\alpha| \bmod |\tau|]</tex>.
}}
{{Определение
|id=hardperiod|definition =Строка <tex>x\alpha \neq \varepsilon</tex> c периодом <tex>p \neq |\alpha|</tex>, называется примитивной'''сильнопериодической''', если <tex>r |\alpha| \bmod p = 10</tex>.
}}
Строка <tex>\alpha = acaacaaca</tex> является сильнопериодической с периодом <tex>p = 3</tex>.
{{Определение
|id=substring|definition =Если <tex>r \ge 2</tex>, то строка <tex>x</tex> называется '''сильнопериодическойПодстрока''', если <tex>1 < r < 2</tex>, то (англ. ''substring'слабопериодической'''. Если <tex>r</tex> ) {{--- целое и <tex>r \ge 2</tex>, то строка <tex>x</tex> называется '''строгопериодической'''}} некоторая непустая подпоследовательность подряд идущих символов строки.
}}
{{Определение
|definition =
Строка <tex>\alpha</tex> является '''подстрокойлексикографически меньше''' строки <tex>\beta</tex>(<tex>\alpha < \beta</tex>), если 1. <tex>\alpha</tex> {{---}} префикс <tex>\beta = </tex> ''или'' 2. <tex> \mathcal \exists k : k \leqslant \gamma min(|\alpha |, |\deltabeta|) </tex> и <tex> \alpha[k] < \beta[k] </tex>, при этом <tex> \mathcal \forall j < k : \alpha_j = \beta_j </tex>.
}}
Строка <tex>\alpha = aca< \beta = acaaba</tex> , так как является подстрокой префиксом <tex>\beta = abracadabra</tex>.
Строка <tex>\alpha = acaa < \beta = acab</tex>, так как <tex>a < b</tex>.
== Формальные языки ==
{{Определение
|id = deflanguage
|definition =
}}
Отметим, что язык в <tex>\Sigma</tex> не обязательно должен содержать цепочки, в которые входят все символы <tex>\Sigma</tex>. Поэтому, если известно, что <tex>L</tex> является языком над <tex>\Sigma</tex>, то можно утверждать, что <tex>L</tex> {{---}} это язык над любым алфавитом, являющимся надмножеством <tex>\Sigma</tex>.
=== Операции над языками ===
Пусть <tex>L</tex> и <tex>M</tex> {{---}} языки. Тогда над ними можно определить следующие операции.
#Теоретико-множественные операции:
#* <tex>L \cup M</tex> {{---}} объединение,
#* <tex>L \cap M </tex> {{---}} пересечение,
#* <tex>L \setminus M</tex> {{---}} разность,
#* <tex>\overline{L}=\Sigma^* \setminus L</tex> {{---}} дополнение.
# Конкатенация: <tex>LM=\left\{\alpha\beta|\alpha \in L, \beta \in M\right\}</tex>.
# Конкатенация с обратным языком: <tex>LR^{-1} = \{ w \mid \exists y \in R : wy \in L\}</tex>; конкатенация с обратным словом: <tex>Ly^{-1} = L\{y\}^{-1}, y \in \Sigma^*</tex>.
# Степень языка: <tex>L^k=\begin{cases}
\{\varepsilon\}, k = 0\\
LL^{k-1}, k > 0.
\end{cases}
</tex>
# Замыкание Клини: <tex>L^*=\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}L^i</tex>.
# [[#Гомоморфизм языков| Гомоморфизм]]
=== Примеры ===
* <tex>(\{0\}^*) \cup (\{1\}^*)</tex> {{---}} язык состоит из последовательностей нулей, последовательностей единиц и пустой строки.
* <tex>(\{0\}\{0\}^*) \cup (\{1\}\{1\}^*)</tex> {{---}} аналогично предыдущему, но не содержит пустую строку.
* <tex>(\{0\} \cup \{1\})^* = \{0, 1\}^*</tex> {{---}} содержит все двоичные векторы и пустую строку.
* Если <tex>L_p</tex> — язык десятичных представлений всех простых чисел, то язык <tex>(L_p \setminus (\{3\}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}^*)) \ \ </tex> будет содержать десятичные представления простых чисел, не начинающихся с тройки.
* <tex>\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}</tex>.
== Гомоморфизм языков ==
{{Определение
|definition=
Пусть даны два алфавита <tex>\Sigma_1, \Sigma_2</tex>. '''Гомоморфизмом''' называется такое отображение <tex> \varphi \colon \Sigma_{1}^{*} \to \Sigma_{2}^{*}</tex>, что:
* <tex>\varphi(\varepsilon) = \varepsilon</tex>, то есть сохраняет пустую строку
* <tex>\forall w_1, w_2 \in \Sigma_1^*: \varphi(w_1w_2) = \varphi(w_1)\varphi(w_2)</tex>, то есть сохраняет конкатенацию
}}
{{Определение
|definition=
'''Образом языка''' <tex>L \subset \Sigma_1^* </tex> при гомоморфизме <tex>\varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*</tex> (иногда называют '''прямым гомоморфизмом''') называется язык <tex>M = \varphi(L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ \varphi(x) \mid x \in L \}</tex>. <br>
Заметим, что <tex>\varphi</tex> будет [[Моноид#defmonhom | гомоморфизмом моноидов]] <tex>\langle L, \cdot, \varepsilon \rangle</tex> и <tex>\langle M, \cdot, \varepsilon \rangle</tex>
}}
{{Определение
|definition=
'''Прообразом языка''' <tex>M \subset \Sigma_2^*</tex> при гомоморфизме <tex>\varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*</tex> (иногда называют '''обратным гомоморфизмом''') называется язык <tex>L = \varphi^{-1}(M) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ x \mid \varphi(x) \in M \}</tex>. <br>
Заметим, что <tex>\varphi</tex> будет [[Моноид#defmonhom | гомоморфизмом моноидов]] <tex>\langle L, \cdot, \varepsilon \rangle</tex> и <tex>\langle M, \cdot, \varepsilon \rangle</tex>
}}
=== Примеры ===
* тривиальные гомоморфизмы
** обнуляющий: <tex> \varphi(x) = \varepsilon, x \in L </tex>, тогда <tex> \varphi(L) = \{ \varepsilon \} </tex>
** тождественный: <tex> \varphi(x) = x, x \in L </tex>, тогда <tex> \varphi(L) = L </tex> и <tex> \varphi^{-1}(L) = L</tex>
* '''гомоморфизм цепочек''' {{---}} функция, подставляющая некоторую строку вместо каждого символа. Более формально, для заданного отображения <tex> h\colon \Sigma_1 \to \Sigma_1^* </tex> гомоморфизмом цепочек будет функция <tex> \varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^* </tex>, действующая от каждого символа строки из языка следующим образом <tex> \varphi(\overline{c_1 c_2 ... c_n}) = h(c_1)h(c_2) ... h(c_k) </tex>. Регулярные языки [[Замкнутость регулярных языков относительно различных операций#st1 | замкнуты]] относительно гомоморфизма цепочек
* ''солнечный язык'' из детских игр (когда после каждой гласной в слове надо добавлять букву "С" и эту же гласную) может быть представлен в виде гомоморфизма языков, где все согласные символы отображаются сами в себя, а гласный символ <tex> z </tex> переходит в <tex> zCz </tex>
* циклический гомоморфизм: зафиксируем порядок символов в алфавите, будем отображать каждый символ в следующий, а последний {{---}} в первый. Обратным гомоморфизмом будет отображение каждого символа в предыдущий.
== См. также ==
* [[Период и бордер, их связь]]
* [[Слово Фибоначчи]]
* [[Слово Туэ-Морса]]
* [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность]]
== Источники информации ==
* [[wikipedia:Formal_language_theory | Wikipedia {{---}} Formal language]]
* [[wikipedia:Kleene_star | Wikipedia {{---}} Kleene star]]
* [[wikipedia:String_operations#String_homomorphism | Wikipedia {{---}} String homomorphism]]
* [[wikipedia:ru:Формальный_язык | Википедия {{---}} Формальный язык]]
* [[wikipedia:ru:Звезда_Клини| Википедия {{---}} Звезда Клини]]
* [http://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCsQFjAA&url=http%3A%2F%2Fehess.modelisationsavoirs.fr%2Fatiam%2Fbiblio%2FLothaire83-chap1.pdf&ei=UiV6UuvbAeaP4gSot4HwCA&usg=AFQjCNGUnEUG4oKbynqjDvd6NVMfSUuMJQ&sig2=GzMd4HvBNW2vYctSWDfvZQ&bvm=bv.55980276,d.bGE&cad=rjt M.Lothaire "Combinatorics on words"]
* Гасфилд Д. Строки, деревья и последовательности в алгоритмах: Информатика и вычислительная биология. — 2-е изд.
* Kelley, Dean (1995). Automata and Formal Languages: An Introduction. London: Prentice-Hall International. ISBN 0-13-497777-7.
* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. {{---}} М.:Издательский дом «Вильямс», 2002. {{---}} С. 45.
[[Категория:Алгоритмы и структуры данныхТеория формальных языков]][[Категория:Основные определения. Простые комбинаторные свойства слов]][[Категория: Автоматы и регулярные языки]]
