Изменения

'''АлфавитомАлфавит''' (англ. ''alphabet'') {{---}} конечное непустое [[Множества|множество]] символов. Условимся обозначать алфавит большой греческой буквой <tex>\sumSigma</tex> называется конечное непустое .}}  Наиболее часто используются следующие алфавиты:* <tex>\Sigma=\{0, 1\}</tex> {{---}} бинарный или двоичный алфавит.* <tex>\Sigma=\{a, b, \dots,z\}</tex> {{---}} множество строчных букв английского алфавита.* <tex>\Sigma = \left\{0, 1, 2, \dots, 9\right\} </tex> {{---}} алфавит цифр.* <tex>\Sigma = \left\{\cdot, -\right\} </tex> {{---}} алфавит, лежащий в основе азбуки Морзе.* Нотные знаки {{Определение|id=string|definition ='''Слово''' (англ. ''string'') или '''цепочка''' {{---}} конечная последовательность символовнекоторого алфавита.

'''ЦепочкойДлина цепочки''' (словом, строкойангл. ''string length'') конечной длины обозначим {{---}} число символов в цепочке. Длину некоторой цепочки <tex>w</tex> обычно обозначают <tex>\sum^* : \sum^* = \bigcup\limits_{n \in \mathbb N} \sum^n|w|</tex>.

'''Конкатенацией''' строк <tex>\alpha = \sumSigma^k</tex> и {{---}} множество цепочек длины <tex>\beta = \sum^mk</tex> является строка над алфавитом <tex>\alpha\beta = \sum^{k+m}Sigma</tex>. Конкатенация является ассоциативной операцией.

'''Нейтральным элементом''' <tex>\varepsilon Sigma^* = \in bigcup \sum^limits _{k=0}^\infty \Sigma^k</tex> называется элемент, для которого верно {{---}} множество всех цепочек над алфавитом <tex>\alpha\varepsilon=\epsilon\alpha=\alphaSigma</tex>.

Нейтральный элемент превращает {{Определение|id = defconcat|definition =Пусть <tex>\sumalpha,\ \beta \in \Sigma^*</tex> . Тогда <tex> \alpha \cdot \beta </tex> или <tex> \alpha \beta </tex> обозначает их '''конкатенацию''' (англ. ''concatenation''), то есть цепочку, в свободный моноид, порожденный которой последовательно записаны цепочки <tex> \alpha </tex> и <tex>\sumbeta </tex>.}}

Зададим группу с элементами {{Определение|definition ='''Пустая цепочка''' (англ. ''empty string'') {{---}} цепочка, не содержащая ни одного символа. Эту цепочку, обозначаемую <tex> \varepsilon </tex>a, 0, +можно рассматривать как цепочку в любом алфавите. Для любой строки <tex>\alpha \in \Sigma^k</tex> верно <tex> : \alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha</tex>.}}

Зададим порождениеМножество строк с операцией ''конкатенации'' и нейтральным элементом ''пустой строкой'' образует [[Моноид|свободный моноид]].

Порождающее соотношение ограничивает количество элементов{{Определение|id=prefix|definition='''Префикс''' (англ. ''prefix'') строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha : \beta = \alpha \gamma</tex>. }} Пусть <tex>\beta = \underline{abr}acadabra</tex>, тогда <tex>\alpha = abr</tex> {{---}} префикс <tex>\beta</tex>. {{Определение|id=suffix|definition='''Суффикс''' (англ. ''suffix'') строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha : \beta = \gamma \alpha </tex>. }} Пусть <tex>\beta = abracada\underline{bra}</tex>, тогда <tex>\alpha = bra</tex> {{---}} суффикс <tex>\beta</tex>. {{Определение|id=border|definition='''Бордер''' (англ. ''circumfix'') строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha : \beta = \gamma \alpha = \alpha \eta</tex>.}} Пусть <tex>\beta = \underline{abra}cad\underline{abra}</tex>, тогда <tex>\alpha = abra</tex> {{---}} бордер <tex>\beta</tex>.

|id=ind|definition =<tex>\alpha[i]</tex> {{---}} символ строки <tex>\alpha</tex>, находящийся на <tex>i</tex>-ой позиции.}} Пусть <tex>\beta = cacao</tex>, тогда <tex>\beta[1] = c, \beta[4] = a </tex>. {{Определение|id=periodАлгебраическая структура называется |definition='''свободнойПериод'''(англ. ''period'') строки <tex>\alpha</tex> {{---}} число <tex>p : \forall i = 1 \ldots |\alpha| - p, если для нее нельзя задать порождающие соотношения с конечного множества\alpha [i] = \alpha[i + p]</tex>. }} Пусть <tex>\alpha = acaacaa</tex>, тогда <tex>p = 3</tex> {{---}} период строки <tex>\alpha = acaacaa</tex>.  {{Утверждение|statement=Пусть известна строка <tex>\tau</tex> {{---}} период <tex>\alpha</tex> и <tex>|\alpha|</tex>, тогда можно восстановить всю строку <tex>\alpha</tex>.|proof=Из определения периода строки следует, что <tex>\alpha[1 \dots |\tau|] = \alpha[|\tau| + 1 \dots 2 \cdot |\tau|] = \dots = \alpha[|\tau| \cdot (k - 1) + 1 \dots |\tau| \cdot k] </tex>, где <tex>k = </tex> <tex dpi="140">\left\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \right\rfloor</tex>.  Таким образом <tex>\alpha = </tex><tex dpi="140">\sum \limits_{i=1}^{\left\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \right\rfloor}</tex><tex> \tau + \tau[1 \dots |\alpha| \bmod |\tau|]</tex>.

|id=hardperiod|definition =Строка <tex>\alpha\neq \varepsilon</tex> называется '''префиксом''' c периодом <tex>p \neq |\betaalpha|</tex>, называется '''сильнопериодической''', если <tex>\beta = |\alpha | \gammabmod p = 0</tex>. Аналогично определяется '''суффикс''' строки.

Пусть <tex>\beta = abracadabra</tex>, тогда*если Строка <tex>\alpha = abrac</tex>, то <tex>\alphaacaacaaca</tex> является префиксом <tex>\betaсильнопериодической с периодом </tex>*если <tex>\alpha p = adabra3</tex>, то суффиксом.

|id=substring|definition =<tex>\alpha</tex> называется '''бордеромПодстрока''' (англ. ''substring'' <tex>\beta</tex>, если <tex>\alpha</tex> одновременно является и суффиксом и префиксом) {{---}} некоторая непустая подпоследовательность подряд идущих символов строки.

Пусть <tex>\beta = abracadabraabr\underline{aca}dabra</tex>, тогда <tex>\alpha = abraaca</tex> будет бордером {{---}} подстрока строки <tex>\beta</tex>.

|definition id=repetitionПусть строка <tex>x |definition= \sum^n</tex> имеет минимальный период <tex>p</tex>, <tex>r = n / p</tex> и <tex>u = \sum^p</tex>. Тогда декомпозиция <tex>x = u^p </tex> называется '''нормальной формойТандемным повтором''' (англ. ''repetition'' строковой последовательности ) называется непустая строка вида <texmath>x\alpha\alpha</texmath>.

|id=palindrome|definition =Строка '''Палиндромом''' (англ. <i>Palindrome</i>) называется строка вида <tex>\alpha\overline{\alpha}</tex> или <tex>\alpha c\overline{\alpha}</tex>, где <tex>\overline{\alpha}</tex> {{---}} развернутая строка <tex>x\alpha</tex> называется примитивной, если <tex>r = 1c</tex>{{---}} любой символ.

Если Строка <tex>r \ge 2alpha</tex> '''лексикографически меньше''' строки <tex>\beta</tex>, то строка (<tex>x\alpha < \beta</tex> называется '''сильнопериодической'''), если 1. <tex>1 \alpha< r /tex> {{---}} префикс < 2tex>\beta</tex>, то  '''слабопериодической'или'' 2. Если <tex>r --\mathcal \exists k : k \leqslant \min(|\alpha|, |\beta|) </tex> целое и <tex>r \ge 2alpha[k] < \beta[k] </tex>, то строка при этом <tex>x\mathcal \forall j < k : \alpha_j = \beta_j </tex> называется '''строгопериодической''' (или просто '''периодической''').

Строка <tex>aaabaabab\alpha = aca < \beta = acaaba</tex> - примитивная , так как является префиксом <tex>(p = n)\beta</tex>.

Строка <tex>abaababaabaab \alpha = acaa < \beta = acab</tex>, так как <tex>a < b</tex>. == Формальные языки =={{Определение|id = deflanguage|definition ='''Язык''' (abaababaангл. ''language'')над алфавитом <tex>\Sigma</tex> {{---}} некоторое подмножество <tex>\Sigma^*</tex>. Иногда такие языки называют '''формальными''' (abaabангл. ''formal''), чтобы подчеркнуть отличие от языков в привычном смысле.}}Отметим, что язык в <tex>\Sigma</tex> не обязательно должен содержать цепочки, в которые входят все символы <tex>\Sigma</tex>. Поэтому, если известно, что <tex>L</tex> является языком над <tex>\Sigma</tex>, то можно утверждать, что <tex>L</tex> {{- слабопериодическая --}} это язык над любым алфавитом, являющимся надмножеством <tex>\Sigma</tex>.=== Операции над языками ===Пусть <tex>L</tex> и <tex>M</tex> {{---}} языки. Тогда над ними можно определить следующие операции.#Теоретико-множественные операции:#* <tex>L \cup M</tex> {{---}} объединение,#* <tex>L \cap M </tex> {{---}} пересечение,#* <tex>L \setminus M</tex> {{---}} разность,#* <tex>\overline{L}=\Sigma^* \setminus L</tex> {{---}} дополнение.# Конкатенация: <tex>LM=\left\{\alpha\beta|\alpha \in L, \beta \in M\right\}</tex>.# Конкатенация с периодом обратным языком: <tex>p LR^{-1} = 8\{ w \mid \exists y \in R : wy \in L\}</tex>; конкатенация с обратным словом: <tex>Ly^{-1} = L\{y\}^{-1}, порядком y \in \Sigma^*</tex>r .# Степень языка: <tex>L^k= 13\begin{cases}\{\varepsilon\}, k = 0\\LL^{k-1}, k > 0.\end{cases}</8tex># Замыкание Клини: <tex>L^*=\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}L^i</tex>.# [[#Гомоморфизм языков| Гомоморфизм]]

Строка === Примеры ===* <tex>abaabaab = (aba\{0\}^*) \cup (\{1\}^*)</tex> {{---}} язык состоит из последовательностей нулей, последовательностей единиц и пустой строки.* <tex>(\{0\}\{0\}^2*) \cup (ab\{1\}\{1\}^*)</tex> {{- сильнопериодическая с периодом --}} аналогично предыдущему, но не содержит пустую строку.* <tex>p (\{0\} \cup \{1\})^* = \{0, 1\}^*</tex> {{---}} содержит все двоичные векторы и пустую строку.* Если <tex>L_p</tex> — язык десятичных представлений всех простых чисел, то язык <tex>(L_p \setminus (\{3\}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}^*)) \ \ </tex>будет содержать десятичные представления простых чисел, порядком не начинающихся с тройки.* <tex>r \{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = 8/3\{\mathrm{b, bb, a}\}</tex>.

|definition =Строка Пусть даны два алфавита <tex>\alphaSigma_1, \Sigma_2</tex> является . '''подстрокойГомоморфизмом''' называется такое отображение <tex>\betavarphi \colon \Sigma_{1}^{*} \to \Sigma_{2}^{*}</tex>, если что:* <tex>\beta varphi(\varepsilon) = \gamma varepsilon</tex>, то есть сохраняет пустую строку* <tex>\forall w_1, w_2 \in \Sigma_1^*: \varphi(w_1w_2) = \alpha varphi(w_1)\deltavarphi(w_2)</tex>., то есть сохраняет конкатенацию

Строка {{Определение|definition='''Образом языка''' <tex>L \subset \Sigma_1^* </tex> при гомоморфизме <tex>\alpha = acavarphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*</tex> является подстрокой (иногда называют '''прямым гомоморфизмом''') называется язык <tex>M = \varphi(L) \overset{\beta underset{\mathrm{def}}{}}{= abracadabra} \{ \varphi(x) \mid x \in L \}</tex>.<br>Заметим, что <tex>\varphi</tex> будет [[Моноид#defmonhom | гомоморфизмом моноидов]] <tex>\langle L, \cdot, \varepsilon \rangle</tex> и <tex>\langle M, \cdot, \varepsilon \rangle</tex>}}

|definition =Строка '''Прообразом языка''' <tex>M \alpha subset \le \betaSigma_2^*</tex>, если:* при гомоморфизме <tex>\alphavarphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*</tex> префикс (иногда называют '''обратным гомоморфизмом''') называется язык <tex>L = \betavarphi^{-1}(M) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ x \mid \varphi(x) \in M \}</tex>* . <texbr>\gamma</tex> общий префикс Заметим, что <tex>\alphavarphi</tex> и будет [[Моноид#defmonhom | гомоморфизмом моноидов]] <tex>\beta</tex>langle L, <tex>\alpha = cdot, \gamma c varepsilon \deltarangle</tex>, и <tex>\beta = langle M, \cdot, \gamma d varepsilon \xi</tex> и <tex>c < drangle</tex>

=== Примеры === * тривиальные гомоморфизмы** обнуляющий: <tex> \varphi(x) = \varepsilon, x \in L </tex>, тогда <tex> \varphi(L) = \{ \varepsilon \} </tex>** тождественный: <tex> \varphi(x) = x, x \in L </tex>, тогда <tex> \varphi(L) = L </tex> и <tex> \varphi^{-1}(L) = L</tex>* '''гомоморфизм цепочек''' {{---}} функция, подставляющая некоторую строку вместо каждого символа. Более формально, для заданного отображения <tex> h\colon \Sigma_1 \to \Sigma_1^* </tex> гомоморфизмом цепочек будет функция <tex> \varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^* </tex>, действующая от каждого символа строки из языка следующим образом <tex> \varphi(\overline{c_1 c_2 ... c_n}) = h(c_1)h(c_2) ... h(c_k) </tex>. Регулярные языки [[Замкнутость регулярных языков относительно различных операций#st1 | замкнуты]] относительно гомоморфизма цепочек* ''солнечный язык'' из детских игр (когда после каждой гласной в слове надо добавлять букву "С" и эту же гласную) может быть представлен в виде гомоморфизма языков, где все согласные символы отображаются сами в себя, а гласный символ <tex> z </tex> переходит в <tex> zCz </tex> * циклический гомоморфизм: зафиксируем порядок символов в алфавите, будем отображать каждый символ в следующий, а последний {{---}} в первый. Обратным гомоморфизмом будет отображение каждого символа в предыдущий.== См. также ==* [[Период и бордер, их связь]]* [[Слово Фибоначчи]]* [[Слово Туэ-Морса]]* [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность]] == Источники информации ==* [[wikipedia:Formal_language_theory | Wikipedia {{---}} Formal language]]* [[wikipedia:Kleene_star | Wikipedia {{---}} Kleene star]]* [[wikipedia:String_operations#String_homomorphism | Wikipedia {{---}} String homomorphism]]* [[wikipedia:ru:Формальный_язык | Википедия {{---}} Формальный язык]]* [[wikipedia:ru:Звезда_Клини| Википедия {{---}} Звезда Клини]]* [http://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCsQFjAA&url=http%3A%2F%2Fehess.modelisationsavoirs.fr%2Fatiam%2Fbiblio%2FLothaire83-chap1.pdf&ei=UiV6UuvbAeaP4gSot4HwCA&usg=AFQjCNGUnEUG4oKbynqjDvd6NVMfSUuMJQ&sig2=GzMd4HvBNW2vYctSWDfvZQ&bvm=bv.55980276,d.bGE&cad=rjt M.Lothaire "Combinatorics on words"]* Гасфилд Д. Строки, деревья и последовательности в алгоритмах: Информатика и вычислительная биология. — 2-е изд.* Kelley, Dean (1995). Automata and Formal Languages: An Introduction. London: Prentice-Hall International. ISBN 0-13-497777-7.* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. {{---}} М.:Издательский дом «Вильямс», 2002. {{---}} С. 45. [[Категория:Алгоритмы и структуры данныхТеория формальных языков]][[Категория:Основные определения. Простые комбинаторные свойства слов]][[Категория: Автоматы и регулярные языки]]