Изменения

 ==Базовые определения== 

|definition='''Символ''' (англ. ''Symbolsymbol'') {{---}} объект, имеющий собственное содержание и уникальную читаемую форму.

|id=alphabet|definition='''Алфавит''' (англ. ''Alphabetalphabet'') <tex>\Sigma</tex> {{---}} конечное непустое [[Множества|множество ]] символов. Условимся обозначать алфавит большой греческой буквой <tex>\Sigma</tex>.}}

ПримерыНаиболее часто используются следующие алфавиты:* <tex>\Sigma=\{0, 1\}</tex> {{---}} бинарный или двоичный алфавит.* <tex>\Sigma=\{a, b, \dots,z\}</tex> {{---}} множество строчных букв английского алфавита.* <tex>\Sigma = \left\{0, 1, 2, \dots, 9\right\} </tex> {{---}} бинарный алфавитцифр.

|id=string|definition='''Нейтральный элементСлово''' (англ. ''string'') или '''цепочка''' {{---}} пустая строка <tex>\varepsilon</tex>: <tex>\varepsilon \in \Sigma^{0}</tex>. Для любой строки <tex>\alpha \in \Sigma^k</tex> верно: <tex>\alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha</tex>конечная последовательность символов некоторого алфавита.

|definition='''Замыкание КлиниДлина цепочки''' (англ. ''Kleene closurestring length'') {{---}} унарная операция над множеством строк либо число символовв цепочке. Замыкание Клини множества Длину некоторой цепочки <tex>\Sigmaw</tex> есть обычно обозначают <tex>\Sigma^* : \Sigma^* = \bigcup\limits_{n = 0}^\infty \Sigma^n|w|</tex>.

Если {{Определение|definition =<tex>\Sigma = \left\^k</tex> {{0, 1\right\---}}множество цепочек длины <tex>k</tex>, то над алфавитом <tex>\Sigma^* = \left\{\varepsilon, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, 010, 011, ... \right\} </tex>.}}

|definition='''Цепочка''' (англ. ''Chain'') <tex>\Sigma^* = \bigcup \limits _{k=0}^\infty \Sigma^k</tex> {{---}} элемент конечной длины из множество всех цепочек над алфавитом <tex>\Sigma^*</tex>.

|id = defconcat|definition='''Конкатенация''' (англ. ''Concatenation'') {{---}} бинарная, ассоциативная, некоммутативная операция, определённая на словах данного алфавита. Конкатецния строк Пусть <tex>\alpha ,\ \beta \in \Sigma^k*</tex> и . Тогда <tex>\beta alpha \in cdot \Sigma^mbeta </tex> является строка или <tex>\alpha\beta </tex> обозначает их '''конкатенацию''' (англ. ''concatenation''), то есть цепочку, в которой последовательно записаны цепочки <tex> \in alpha </tex> и <tex> \Sigma^{k + m}beta </tex>.

|definition='''МоноидПустая цепочка''' (англ. ''Monoidempty string'') {{---}} множествоцепочка, на котором задана бинарная ассоциативная операцияне содержащая ни одного символа. Эту цепочку, обычно именуемая умножениемобозначаемую <tex> \varepsilon </tex>, и можно рассматривать как цепочку в котором существует нейтральный элементлюбом алфавите. Для любой строки <tex>\alpha \in \Sigma^*k</tex> с операцией конкатенации и нейтральным элементом верно <tex>: \alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha</tex> образуют моноид.

|definition='''Префикс''' (англ. ''Prefixprefix'') строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha</tex>: <tex>\beta = \alpha \gamma</tex>.

|definition='''Суффикс''' (англ. ''Suffixsuffix'') строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha</tex>: <tex>\beta = \gamma \alpha </tex>.

|definition='''Бордер''' (англ. ''Circumfixcircumfix'') строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha</tex>: <tex>\beta = \gamma \alpha = \alpha \eta</tex>.

Пусть <tex>\beta = \underline{abra}cad\underline{abra}</tex>, тогда <tex>\alpha = abra</tex> {{---}} бордер <tex>\beta</tex>.

|definition='''Период''' (англ. ''Periodperiod'') строки <tex>\alpha</tex> {{---}} число <tex>p</tex>: <tex>\forall i = 1 \ldots |\alpha| - p , \alpha [i] = \alpha[i + p]</tex>.

|proof=Из определения периода строки следует, что <tex>\alpha[1...\dots |\tau|] = \alpha[|\tau| + 1...\dots 2*\cdot |\tau|] = ... \dots = \alpha[|\tau|*\cdot (k - 1) + 1...\dots |\tau|*\cdot k] </tex>, где <tex>k = </tex> <tex dpi="140">\left\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \right\rfloor</tex>.  Таким образом <tex>\alpha = </tex><tex dpi="140">\sum_sum \limits_{i=1}^{\left\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \right\rfloor} </tex><tex> \tau + \tau[1...\dots |\alpha| mod \bmod |\tau|]</tex>.

|definition='''Подстрока''' (англ. ''Substringsubstring'') {{---}} некоторая непустая связная часть подпоследовательность подряд идущих символов строки.

2. <tex> \mathcal {9} \exists k : k\leqslant \min(|\alpha|, |\beta|): </tex> и <tex> \alpha[k] < \beta[k] </tex> и , при этом <tex> \mathcal {8} \forall j < k ~: \alpha_j = \beta_j </tex>

== Смотри также Формальные языки =={{Определение|id = deflanguage|definition ='''Язык''' (англ. ''language'') над алфавитом <tex>\Sigma</tex> {{---}} некоторое подмножество <tex>\Sigma^*</tex>. Иногда такие языки называют '''формальными''' (англ. ''formal''), чтобы подчеркнуть отличие от языков в привычном смысле.}}Отметим, что язык в <tex>\Sigma</tex> не обязательно должен содержать цепочки, в которые входят все символы <tex>\Sigma</tex>. Поэтому, если известно, что <tex>L</tex> является языком над <tex>\Sigma</tex>, то можно утверждать, что <tex>L</tex> {{---}} это язык над любым алфавитом, являющимся надмножеством <tex>\Sigma</tex>.=== Операции над языками ===Пусть <tex>L</tex> и <tex>M</tex> {{---}} языки. Тогда над ними можно определить следующие операции.#Теоретико-множественные операции:#* <tex>L \cup M</tex> {{---}} объединение,#* <tex>L \cap M </tex> {{---}} пересечение,#* <tex>L \setminus M</tex> {{---}} разность,#* <tex>\overline{L}=\Sigma^* \setminus L</tex> {{---}} дополнение.# Конкатенация: <tex>LM=\left\{\alpha\beta|\alpha \in L, \beta \in M\right\}</tex>.# Конкатенация с обратным языком: <tex>LR^{-1} = \{ w \mid \exists y \in R : wy \in L\}</tex>; конкатенация с обратным словом: <tex>Ly^{-1} = L\{y\}^{-1}, y \in \Sigma^*</tex>.# Степень языка: <tex>L^k=\begin{cases}\{\varepsilon\}, k = 0\\LL^{k-1}, k > 0.\end{cases}</tex># Замыкание Клини: <tex>L^*=\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}L^i</tex>.# [[#Гомоморфизм языков| Гомоморфизм]] === Примеры ===* <tex>(\{0\}^*) \cup (\{1\}^*)</tex> {{---}} язык состоит из последовательностей нулей, последовательностей единиц и пустой строки.* <tex>(\{0\}\{0\}^*) \cup (\{1\}\{1\}^*)</tex> {{---}} аналогично предыдущему, но не содержит пустую строку.* <tex>(\{0\} \cup \{1\})^* = \{0, 1\}^*</tex> {{---}} содержит все двоичные векторы и пустую строку.* Если <tex>L_p</tex> — язык десятичных представлений всех простых чисел, то язык <tex>(L_p \setminus (\{3\}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}^*)) \ \ </tex> будет содержать десятичные представления простых чисел, не начинающихся с тройки.* <tex>\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}</tex>. == Гомоморфизм языков =={{Определение|definition=Пусть даны два алфавита <tex>\Sigma_1, \Sigma_2</tex>. '''Гомоморфизмом''' называется такое отображение <tex> \varphi \colon \Sigma_{1}^{*} \to \Sigma_{2}^{*}</tex>, что:* <tex>\varphi(\varepsilon) = \varepsilon</tex>, то есть сохраняет пустую строку* <tex>\forall w_1, w_2 \in \Sigma_1^*: \varphi(w_1w_2) = \varphi(w_1)\varphi(w_2)</tex>, то есть сохраняет конкатенацию}} {{Определение|definition='''Образом языка''' <tex>L \subset \Sigma_1^* </tex> при гомоморфизме <tex>\varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*</tex> (иногда называют '''прямым гомоморфизмом''') называется язык <tex>M = \varphi(L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ \varphi(x) \mid x \in L \}</tex>. <br>Заметим, что <tex>\varphi</tex> будет [[Период Моноид#defmonhom | гомоморфизмом моноидов]] <tex>\langle L, \cdot, \varepsilon \rangle</tex> и бордер<tex>\langle M, \cdot, \varepsilon \rangle</tex>}} {{Определение|definition='''Прообразом языка''' <tex>M \subset \Sigma_2^*</tex> при гомоморфизме <tex>\varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*</tex> (иногда называют '''обратным гомоморфизмом''') называется язык <tex>L = \varphi^{-1}(M) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ x \mid \varphi(x) \in M \}</tex>. <br>Заметим, их связьчто <tex>\varphi</tex> будет [[Моноид#defmonhom | гомоморфизмом моноидов]]<tex>\langle L, \cdot, \varepsilon \rangle</tex> и <tex>\langle M, \cdot, \varepsilon \rangle</tex>}}

* тривиальные гомоморфизмы** обнуляющий: <tex> \varphi(x) = \varepsilon, x \in L </tex>, тогда <tex> \varphi(L) = \{ \varepsilon \} </tex>** тождественный: <tex> \varphi(x) = x, x \in L </tex>, тогда <tex> \varphi(L) = L </tex> и <tex> \varphi^{-1}(L) = L</tex>* '''гомоморфизм цепочек''' {{---}} функция, подставляющая некоторую строку вместо каждого символа. Более формально, для заданного отображения <tex> h\colon \Sigma_1 \to \Sigma_1^* </tex> гомоморфизмом цепочек будет функция <tex> \varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^* </tex>, действующая от каждого символа строки из языка следующим образом <tex> \varphi(\overline{c_1 c_2 ... c_n}) = h(c_1)h(c_2) ... h(c_k) </tex>. Регулярные языки [[Замкнутость регулярных языков относительно различных операций#st1 | замкнуты]] относительно гомоморфизма цепочек* ''солнечный язык'' из детских игр (когда после каждой гласной в слове надо добавлять букву "С" и эту же гласную) может быть представлен в виде гомоморфизма языков, где все согласные символы отображаются сами в себя, а гласный символ <tex> z </tex> переходит в <tex> zCz </tex> * циклический гомоморфизм: зафиксируем порядок символов в алфавите, будем отображать каждый символ в следующий, а последний {{---}} в первый. Обратным гомоморфизмом будет отображение каждого символа в предыдущий.== См. также ==* [[Период и бордер, их связь]]* [[Слово Фибоначчи]]* [[Слово Туэ-Морса]]* [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность]]

==ЛитератураИсточники информации ==* [[wikipedia:Formal_language_theory | Wikipedia {{---}} Formal language]]* [[wikipedia:Kleene_star | Wikipedia {{---}} Kleene star]]* [[wikipedia:String_operations#String_homomorphism | Wikipedia {{---}} String homomorphism]]* [[wikipedia:ru:Формальный_язык | Википедия {{---}} Формальный язык]]* [[wikipedia:ru:Звезда_Клини| Википедия {{---}} Звезда Клини]]* [http://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCsQFjAA&url=http%3A%2F%2Fehess.modelisationsavoirs.fr%2Fatiam%2Fbiblio%2FLothaire83-chap1.pdf&ei=UiV6UuvbAeaP4gSot4HwCA&usg=AFQjCNGUnEUG4oKbynqjDvd6NVMfSUuMJQ&sig2=GzMd4HvBNW2vYctSWDfvZQ&bvm=bv.55980276,d.bGE&cad=rjt M.Lothaire "Combinatorics on words"]

* Gusfield''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Dan (1999) [1997]Ульман Д. Algorithms on Strings'' Введение в теорию автоматов, Trees and Sequencesязыков и вычислений, 2-е изд. : Computer Science and Computational BiologyПер. с англ. {{---}} М. USA: Cambridge University PressИздательский дом «Вильямс», 2002. ISBN 0{{-521-58519-8}} С. 45.

[[Категория:Алгоритмы и структуры данныхТеория формальных языков]][[Категория:Основные определения. Простые комбинаторные свойства слов]][[Категория: Автоматы и регулярные языки]]