Основные определения: алфавит, слово, язык, конкатенация, свободный моноид слов; операции над языками — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Примеры)
(Конкатенация с обратными)
Строка 55: Строка 55:
  
 
== Операции над языками ==
 
== Операции над языками ==
Пусть <tex>L</tex> и <tex>M</tex> {{---}} [[Основные определения: алфавит, слово, язык, конкатенация, свободный моноид слов#deflanguage|языки]]. Тогда над ними можно определить следующие операции.
+
Пусть <tex>L</tex> и <tex>M</tex> {{---}} языки. Тогда над ними можно определить следующие операции.
 
#Теоретико-множественные операции:
 
#Теоретико-множественные операции:
 
#* <tex>L \cup M</tex> {{---}} объединение,
 
#* <tex>L \cup M</tex> {{---}} объединение,
Строка 61: Строка 61:
 
#* <tex>L \setminus M</tex> {{---}} разность,
 
#* <tex>L \setminus M</tex> {{---}} разность,
 
#* <tex>\overline{L}=\Sigma^* \setminus L</tex> {{---}} дополнение.
 
#* <tex>\overline{L}=\Sigma^* \setminus L</tex> {{---}} дополнение.
#Конкатенация <tex>LM=\left\{\alpha\beta|\alpha \in L, \beta \in M\right\}</tex>.
+
#Конкатенация: <tex>LM=\left\{\alpha\beta|\alpha \in L, \beta \in M\right\}</tex>.
#Степень языка <tex>L^k=\begin{cases}
+
#Конкатенация с обратным языком: <tex>LR^{-1} = \{ w \mid \exists y \in R : wy \in L\}</tex>; конкатенация с обратным словом: <tex>Ly^{-1} = L\{y\}^{-1}, y \in \Sigma^*</tex>.
 +
#Степень языка: <tex>L^k=\begin{cases}
 
\{\varepsilon\}, k = 0\\
 
\{\varepsilon\}, k = 0\\
 
LL^{k-1}, k > 0.
 
LL^{k-1}, k > 0.
 
\end{cases}
 
\end{cases}
 
</tex>
 
</tex>
#Замыкание Клини <tex>L^*=\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}L^i</tex>.
+
#Замыкание Клини: <tex>L^*=\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}L^i</tex>.
  
 
=== Примеры ===
 
=== Примеры ===
Строка 73: Строка 74:
 
* <tex>(\{0\}\{0\}^*) \cup (\{1\}\{1\}^*)</tex> — аналогично предыдущему, но не содержит пустое слово.
 
* <tex>(\{0\}\{0\}^*) \cup (\{1\}\{1\}^*)</tex> — аналогично предыдущему, но не содержит пустое слово.
 
* <tex>(\{0\} \cup \{1\})^* = \{0, 1\}^*</tex> — содержит все двоичные векторы и пустую строку.
 
* <tex>(\{0\} \cup \{1\})^* = \{0, 1\}^*</tex> — содержит все двоичные векторы и пустую строку.
* Если <tex>L_p</tex> — язык строковых представлений всех простых чисел, то язык <tex>(L_p \setminus (\{3\}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}^*))</tex> будет содержать строковые представления простых чисел, не начинающихся с тройки.
+
* Если <tex>L_p</tex> — язык десятичных представлений всех простых чисел, то язык <tex>(L_p \setminus (\{3\}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}^*))</tex> будет содержать десятичные представления простых чисел, не начинающихся с тройки.
 +
* <tex>\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}</tex>.
  
  

Версия 08:44, 21 января 2012

Определение:
Алфавит — конечное непустое множество. Условимся обозначать алфавит символом [math]\Sigma[/math].


Наиболее часто используются следующие алфавиты:

  1. [math]\Sigma=\{0, 1\}[/math] — бинарный или двоичный алфавит.
  2. [math]\Sigma=\{a, b, ...,z\}[/math] — множество строчных букв английского алфавита.


Определение:
Слово (цепочка) — конечная последовательность символов некоторого алфавита.


Определение:
Пустая цепочка — цепочка, не содержащая ни одного символа. Эту цепочку, обозначаемую [math] \varepsilon [/math], можно рассматривать как цепочку в любом алфавите.


Определение:
Длина цепочки — число символов в цепочке. Длину некоторой цепочки [math]w[/math] обычно обозначают [math]|w|[/math].


Определение:
[math]\Sigma^k[/math] — множество цепочек длины [math]k[/math] над алфавитом [math]\Sigma[/math].


Определение:
[math]\Sigma^* = \bigcup \limits _{k=0}^\infty \Sigma^k[/math] — множество всех цепочек над алфавитом [math]\Sigma[/math].


Определение:
Язык над алфавитом [math]\Sigma[/math] — некоторое подмножество [math]\Sigma^*[/math]. Иногда такие язык называют формальными, чтобы подчеркнуть отличие от языков в привычном смысле.


Отметим, что язык в [math]\Sigma[/math] не обязательно должен содержать цепочки, в которые входят все символы [math]\Sigma[/math]. Поэтому, если известно, что [math]L[/math] является языком над [math]\Sigma[/math], то можно утверждать, что [math]L[/math] — это язык над любым алфавитом, являющимся надмножеством [math]\Sigma[/math].


Определение:
Пусть [math]x, y \in \Sigma^*[/math]. Тогда [math]xy[/math] обозначает их конкатенацию, т.е. цепочку, в которой последовательно записаны цепочки x и y.


Свойства

  • [math](\alpha\beta)\gamma=\alpha(\beta\gamma)[/math]
  • [math]\exists \varepsilon : \alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha[/math]

Таким образом, мы получаем свободный моноид слов.


Операции над языками

Пусть [math]L[/math] и [math]M[/math] — языки. Тогда над ними можно определить следующие операции.

  1. Теоретико-множественные операции:
    • [math]L \cup M[/math] — объединение,
    • [math]L \cap M [/math] — пересечение,
    • [math]L \setminus M[/math] — разность,
    • [math]\overline{L}=\Sigma^* \setminus L[/math] — дополнение.
  2. Конкатенация: [math]LM=\left\{\alpha\beta|\alpha \in L, \beta \in M\right\}[/math].
  3. Конкатенация с обратным языком: [math]LR^{-1} = \{ w \mid \exists y \in R : wy \in L\}[/math]; конкатенация с обратным словом: [math]Ly^{-1} = L\{y\}^{-1}, y \in \Sigma^*[/math].
  4. Степень языка: [math]L^k=\begin{cases} \{\varepsilon\}, k = 0\\ LL^{k-1}, k \gt 0. \end{cases} [/math]
  5. Замыкание Клини: [math]L^*=\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}L^i[/math].

Примеры

  • [math](\{0\}^*) \cup (\{1\}^*)[/math] — язык состоит из последовательностей нулей, последовательностей единиц и пустого слово.
  • [math](\{0\}\{0\}^*) \cup (\{1\}\{1\}^*)[/math] — аналогично предыдущему, но не содержит пустое слово.
  • [math](\{0\} \cup \{1\})^* = \{0, 1\}^*[/math] — содержит все двоичные векторы и пустую строку.
  • Если [math]L_p[/math] — язык десятичных представлений всех простых чисел, то язык [math](L_p \setminus (\{3\}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}^*))[/math] будет содержать десятичные представления простых чисел, не начинающихся с тройки.
  • [math]\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}[/math].