Основные определения: алфавит, слово, язык, конкатенация, свободный моноид слов; операции над языками — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Свойства)
(смёрджен с конспектом из 4 семестра)
 
(не показаны 22 промежуточные версии 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{Определение
+
#перенаправление [[Основные определения, связанные со строками]]
|definition =
 
'''Алфавит''' {{---}} конечное непустое множество. Условимся обозначать алфавит символом <tex>\Sigma</tex>.
 
}}
 
 
 
Наиболее часто используются следующие алфавиты:
 
# <tex>\Sigma=\{0, 1\}</tex> {{---}} бинарный или двоичный алфавит.
 
# <tex>\Sigma=\{a, b, ...,z\}</tex> {{---}} множество строчных букв английского алфавита.
 
 
 
{{Определение
 
|definition =
 
'''Слово''' ('''цепочка''') {{---}} конечная последовательность символов некоторого алфавита.
 
}}
 
 
 
{{Определение
 
|definition =
 
'''Пустая цепочка''' {{---}} цепочка, не содержащая ни одного символа. Эту цепочку, обозначаемую <tex> \varepsilon </tex>, можно рассматривать как цепочку в любом алфавите.
 
}}
 
 
 
{{Определение
 
|definition =
 
'''Длина цепочки''' {{---}} число символов в цепочке. Длину некоторой цепочки <tex>w</tex> обычно обозначают <tex>|w|</tex>.
 
}}
 
 
 
{{Определение
 
|definition =
 
<tex>\Sigma^k</tex> {{---}} множество цепочек длины <tex>k</tex> над алфавитом <tex>\Sigma</tex>.
 
}}
 
 
 
{{Определение
 
|definition =
 
<tex>\Sigma^* = \bigcup \limits _{k=0}^\infty \Sigma^k</tex> — множество всех цепочек над алфавитом <tex>\Sigma</tex>.
 
}}
 
 
 
{{Определение
 
|id = deflanguage
 
|definition =
 
'''Язык''' над алфавитом <tex>\Sigma</tex> {{---}} некоторое подмножество <tex>\Sigma^*</tex>. Иногда такие языки называют '''формальными''', чтобы подчеркнуть отличие от языков в привычном смысле.
 
}}
 
 
 
Отметим, что язык в <tex>\Sigma</tex> не обязательно должен содержать цепочки, в которые входят все символы <tex>\Sigma</tex>. Поэтому, если известно, что <tex>L</tex> является языком над <tex>\Sigma</tex>, то можно утверждать, что <tex>L</tex> {{---}} это язык над любым алфавитом, являющимся надмножеством <tex>\Sigma</tex>.
 
 
 
{{Определение
 
|definition =
 
Пусть <tex>x, y \in \Sigma^*</tex>. Тогда <tex>xy</tex> обозначает их '''конкатенацию''', т.е. цепочку, в которой последовательно записаны цепочки x и y.
 
}}
 
 
 
==Свойства==
 
 
 
* <tex>\forall \alpha, \beta, \gamma. (\alpha\beta)\gamma=\alpha(\beta\gamma)</tex>
 
* <tex>\forall \alpha, \beta. \alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha</tex>
 
 
 
Таким образом, мы получаем '''свободный [[Моноид|моноид]] слов'''.
 
 
 
== Операции над языками ==
 
Пусть <tex>L</tex> и <tex>M</tex> {{---}} языки. Тогда над ними можно определить следующие операции.
 
#Теоретико-множественные операции:
 
#* <tex>L \cup M</tex> {{---}} объединение,
 
#* <tex>L \cap M </tex> {{---}} пересечение,
 
#* <tex>L \setminus M</tex> {{---}} разность,
 
#* <tex>\overline{L}=\Sigma^* \setminus L</tex> {{---}} дополнение.
 
#Конкатенация: <tex>LM=\left\{\alpha\beta|\alpha \in L, \beta \in M\right\}</tex>.
 
#Конкатенация с обратным языком: <tex>LR^{-1} = \{ w \mid \exists y \in R : wy \in L\}</tex>; конкатенация с обратным словом: <tex>Ly^{-1} = L\{y\}^{-1}, y \in \Sigma^*</tex>.
 
#Степень языка: <tex>L^k=\begin{cases}
 
\{\varepsilon\}, k = 0\\
 
LL^{k-1}, k > 0.
 
\end{cases}
 
</tex>
 
#Замыкание Клини: <tex>L^*=\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}L^i</tex>.
 
 
 
=== Примеры ===
 
* <tex>(\{0\}^*) \cup (\{1\}^*)</tex> — язык состоит из последовательностей нулей, последовательностей единиц и пустой строки.
 
* <tex>(\{0\}\{0\}^*) \cup (\{1\}\{1\}^*)</tex> — аналогично предыдущему, но не содержит пустую строку.
 
* <tex>(\{0\} \cup \{1\})^* = \{0, 1\}^*</tex> — содержит все двоичные векторы и пустую строку.
 
* Если <tex>L_p</tex> — язык десятичных представлений всех простых чисел, то язык <tex>(L_p \setminus (\{3\}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}^*))</tex> будет содержать десятичные представления простых чисел, не начинающихся с тройки.
 
* <tex>\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}</tex>.
 
 
 
 
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]
 
 
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]
 

Текущая версия на 23:10, 12 июня 2014