{{Определение|definition ='''Алфавит''' {{---}} конечное непустое множество. Условимся обозначать алфавит символом <tex>\Sigma</tex>.}} Наиболее часто используются следующие алфавиты:# <tex>\Sigma=\{0, 1\}</tex> {{---}} бинарный или двоичный алфавит.# <tex>\Sigma=\{a, b, ...,z\}</tex> {{---}} множество строчных букв английского алфавита.{{Определение|definition ='''Слово''' ('''цепочка''') {{---}} конечная последовательность символов некоторого алфавита.}}{{Определение|definition ='''Пустая цепочка''' {{---}} цепочка, не содержащая ни одного символа. Эту цепочку, обозначаемую <tex> \varepsilon </tex>, можно рассматривать как цепочку в любом алфавите. }}{{Определение|definition ='''Длина цепочки''' {{---}} число символов в цепочке. Длину некоторой цепочки <tex>w</tex> обычно обозначают <tex>|w|</tex>.}}{{Определение|definition =<tex>\Sigma^k</tex> {{---}} множество цепочек длины <tex>k</tex> над алфавитом <tex>\Sigma</tex>.}}{{Определение|definition =<tex>\Sigma^* = \bigcup \limits _{k=0}^\infty \Sigma^k</tex> — множество всех цепочек над алфавитом <tex>\Sigma</tex>.}}{{Определение|id = deflanguage|definition ='''Язык''' над алфавитом <tex>\Sigma</tex> {{---}} некоторое подмножество <tex>\Sigma^*</tex>. Иногда такие языки называют '''формальными''', чтобы подчеркнуть отличие от языков в привычном смысле.}}Отметим, что язык в <tex>\Sigma</tex> не обязательно должен содержать цепочки, в которые входят все символы <tex>\Sigma</tex>. Поэтому, если известно, что <tex>L</tex> является языком над <tex>\Sigma</tex>, то можно утверждать, что <tex>L</tex> {{---}} это язык над любым алфавитом, являющимся надмножеством <tex>\Sigma</tex>.{{Определение|definition =Пусть <tex>x, y \in \Sigma^*</tex>. Тогда <tex>xy</tex> обозначает их '''конкатенацию''', т.е. цепочку, в которой последовательно записаны цепочки x и y.}}==Свойства==* <tex>\forall \alpha, \beta, \gamma. (\alpha\beta)\gamma=\alpha(\beta\gamma)</tex>* <tex>\forall \alpha, \beta. \alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha</tex>Таким образом, мы получаем '''свободный перенаправление [[Моноид|моноид]] слов'''.== Операции над языками ==Пусть <tex>L</tex> и <tex>M</tex> {{---}} языки. Тогда над ними можно определить следующие операции.#Теоретико-множественные операции:#* <tex>L \cup M</tex> {{---}} объединение,#* <tex>L \cap M </tex> {{---}} пересечение,#* <tex>L \setminus M</tex> {{---}} разность,#* <tex>\overline{L}=\Sigma^* \setminus L</tex> {{---}} дополнение.#Конкатенация: <tex>LM=\left\{\alpha\beta|\alpha \in L, \beta \in M\right\}</tex>.#Конкатенация с обратным языком: <tex>LR^{-1} = \{ w \mid \exists y \in R : wy \in L\}</tex>; конкатенация с обратным словом: <tex>Ly^{-1} = L\{y\}^{-1}Основные определения, y \in \Sigma^*</tex>.#Степень языка: <tex>L^k=\begin{cases}\{\varepsilon\}, k = 0\\LL^{k-1}, k > 0.\end{cases}</tex>#Замыкание Клини: <tex>L^*=\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}L^i</tex>.=== Примеры ===* <tex>(\{0\}^*) \cup (\{1\}^*)</tex> — язык состоит из последовательностей нулей, последовательностей единиц и пустой строки.* <tex>(\{0\}\{0\}^*) \cup (\{1\}\{1\}^*)</tex> — аналогично предыдущему, но не содержит пустую строку.* <tex>(\{0\} \cup \{1\})^* = \{0, 1\}^*</tex> — содержит все двоичные векторы и пустую строку.* Если <tex>L_p</tex> — язык десятичных представлений всех простых чисел, то язык <tex>(L_p \setminus (\{3\}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}^*))</tex> будет содержать десятичные представления простых чисел, не начинающихся с тройки.* <tex>\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}</tex>.[[Категория: Теория формальных языков]][[Категория: Автоматы и регулярные языки]][[Категория: Теория формальных языков]][[Категория: Автоматы и регулярные языкисвязанные со строками]]
