== Базовые определения == {{Определение|definition ='''Алфавит''' (англ. ''alphabet'') {{---}} конечное непустое [[Множества|множество]] элментов, называемых '''символами''' (англ. ''symbols''). Условимся обозначать алфавит большой греческой буквой <tex>\Sigma</tex>.}} Наиболее часто используются следующие алфавиты:# <tex>\Sigma=\{0, 1\}</tex> {{---}} бинарный или двоичный алфавит.# <tex>\Sigma=\{a, b, ...,z\}</tex> {{---}} множество строчных букв английского алфавита. {{Определение|definition ='''Слово''' (англ. ''string'') или '''цепочка''' {{---}} конечная последовательность символов некоторого алфавита.}} {{Определение|definition ='''Пустая цепочка''' {{---}} цепочка, не содержащая ни одного символа. Эту цепочку, обозначаемую <tex> \varepsilon </tex>, можно рассматривать как цепочку в любом алфавите. }} {{Определение|definition ='''Длина цепочки''' {{---}} число символов в цепочке. Длину некоторой цепочки <tex>w</tex> обычно обозначают <tex>|w|</tex>.}} {{Определение|definition =<tex>\Sigma^k</tex> {{---}} множество цепочек длины <tex>k</tex> над алфавитом <tex>\Sigma</tex>.}} {{Определение|definition =<tex>\Sigma^* = \bigcup \limits _{k=0}^\infty \Sigma^k</tex> — множество всех цепочек над алфавитом <tex>\Sigma</tex>.}} {{Определение|id = deflanguage|definition ='''Язык''' (англ. ''language'') над алфавитом <tex>\Sigma</tex> {{---}} некоторое подмножество <tex>\Sigma^*</tex>. Иногда такие языки называют '''формальными''' (англ. ''formal''), чтобы подчеркнуть отличие от языков в привычном смысле.}} Отметим, что язык в <tex>\Sigma</tex> не обязательно должен содержать цепочки, в которые входят все символы <tex>\Sigma</tex>. Поэтому, если известно, что <tex>L</tex> является языком над <tex>\Sigma</tex>, то можно утверждать, что <tex>L</tex> {{---}} это язык над любым алфавитом, являющимся надмножеством <tex>\Sigma</tex>. {{Определение|definition =Пусть <tex>x, y \in \Sigma^*</tex>. Тогда <tex>xy</tex> обозначает их '''конкатенацию''' (англ. ''concatenation''), т.е. цепочку, в которой последовательно записаны цепочки <tex> x </tex> и <tex> y </tex>.}} Множество строк с операцией ''конкатенации'' образует перенаправление [[Моноид|свободный моноид]]. == Операции над языками ==Пусть <tex>L</tex> и <tex>M</tex> {{---}} языки. Тогда над ними можно определить следующие операции.#Теоретико-множественные операции:#* <tex>L \cup M</tex> {{---}} объединение,#* <tex>L \cap M </tex> {{---}} пересечение,#* <tex>L \setminus M</tex> {{---}} разность,#* <tex>\overline{L}=\Sigma^* \setminus L</tex> {{---}} дополнение.#Конкатенация: <tex>LM=\left\{\alpha\beta|\alpha \in L, \beta \in M\right\}</tex>.#Конкатенация с обратным языком: <tex>LR^{-1} = \{ w \mid \exists y \in R : wy \in L\}</tex>; конкатенация с обратным словом: <tex>Ly^{-1} = L\{y\}^{-1}, y \in \Sigma^*</tex>.#Степень языка: <tex>L^k=\begin{cases}\{\varepsilon\}, k = 0\\LL^{k-1}, k > 0.\end{cases}</tex>#Замыкание Клини: <tex>L^*=\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}L^i</tex>. === Примеры ===* <tex>(\{0\}^*) \cup (\{1\}^*)</tex> — язык состоит из последовательностей нулей, последовательностей единиц и пустой строки.* <tex>(\{0\}\{0\}^*) \cup (\{1\}\{1\}^*)</tex> — аналогично предыдущему, но не содержит пустую строку.* <tex>(\{0\} \cup \{1\})^* = \{0, 1\}^*</tex> — содержит все двоичные векторы и пустую строку.* Если <tex>L_p</tex> — язык десятичных представлений всех простых чисел, то язык <tex>(L_p \setminus (\{3\}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}^*))</tex> будет содержать десятичные представления простых чисел, не начинающихся с тройки.* <tex>\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{bОсновные определения, bb, a}\}</tex>. == Гомоморфизм языков == {{Определение|definition='''Гомоморфизмом цепочек''' называется отображение <tex>\varphi : \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*</tex>, действующее следующим образом: <tex>\varphi(\overline{c_1 c_2 \ldots c_k}) = \varphi(c_1) \varphi(c_2)\ldots \varphi(c_k)</tex>.}}Таким образом, гомоморфизм цепочек сохраняет операцию конкатенации, а именно: <tex> \varphi(\alpha\beta) = \varphi(\alpha)\varphi(\beta) </tex>. {{Определение|definition='''Гомоморфизмом языков''' <tex> L_1 </tex> и <tex> L_2 </tex> называется отображение <tex>\Phi : L_1 \to L_2</tex> такое, что <tex> \Phi(L_1) = \{\varphi(x) | x \in L_1 \} = L_2 </tex>, где <tex> \varphi </tex> {{---}} ''гомоморфизм цепочек''.}} {{Определение|definition='''Образом языка''' <tex>L \subset \Sigma_1^*</tex> при гомоморфизме <tex>\varphi: \Sigma_1^* \rightarrow \Sigma_2^*</tex> называется язык <tex>\varphi (L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace \varphi (x) | x \in L \rbrace</tex>.}}{{Определение|definition='''Прообразом языка''' <tex>L \subset \Sigma_2^*</tex> при гомоморфизме <tex>\varphi: \Sigma_1^* \rightarrow \Sigma_2^*</tex> называется язык <tex>\varphi^{-1} (L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace x | \varphi (x) \in L \rbrace</tex>.}} == Ссылки ==* [[wikipedia:Formal_language_theory | Wikipedia {{---}} Formal language]]* [[wikipedia:Kleene_star | Wikipedia {{---}} Kleene star]]* [[wikipedia:String_operations#String_homomorphism | Wikipedia {{---}} String homomorphism]]* [[wikipedia:ru:Формальный_язык | Википедия {{---}} Формальный язык]]* [[wikipedia:ru:Звезда_Клини| Википедия {{---}} Звезда Клини]]* [http://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCsQFjAA&url=http%3A%2F%2Fehess.modelisationsavoirs.fr%2Fatiam%2Fbiblio%2FLothaire83-chap1.pdf&ei=UiV6UuvbAeaP4gSot4HwCA&usg=AFQjCNGUnEUG4oKbynqjDvd6NVMfSUuMJQ&sig2=GzMd4HvBNW2vYctSWDfvZQ&bvm=bv.55980276,d.bGE&cad=rjt M.Lothaire "Combinatorics on words"]* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. {{---}} М.:Издательский дом «Вильямс», 2002. {{---}} С. 45. [[Категория: Теория формальных языков]][[Категория: Автоматы и регулярные языкисвязанные со строками]]
