Основные определения: алфавит, слово, язык, конкатенация, свободный моноид слов; операции над языками — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(добавлена ссылка на книгу)
(перенесены определения гомоморфизма из другого конспекта)
Строка 1: Строка 1:
 +
== Базовые определения ==
 +
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
Строка 10: Строка 12:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
'''Слово''' (англ. ''string'' {{---}} ''слово'', ''цепочка'') {{---}} конечная последовательность символов некоторого алфавита.
+
'''Слово''' (англ. ''string'') или '''цепочка''' {{---}} конечная последовательность символов некоторого алфавита.
 
}}
 
}}
  
Строка 43: Строка 45:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
Пусть <tex>x, y \in \Sigma^*</tex>. Тогда <tex>xy</tex> обозначает их '''конкатенацию''' (англ. ''concatenation''), т.е. цепочку, в которой последовательно записаны цепочки x и y.
+
Пусть <tex>x, y \in \Sigma^*</tex>. Тогда <tex>xy</tex> обозначает их '''конкатенацию''' (англ. ''concatenation''), т.е. цепочку, в которой последовательно записаны цепочки <tex> x </tex> и <tex> y </tex>.
 
}}
 
}}
  
Множество строк с операцией ''конкатенация'' образует [[Моноид|свободный моноид]].
+
Множество строк с операцией ''конкатенации'' образует [[Моноид|свободный моноид]].
  
 
== Операции над языками ==
 
== Операции над языками ==
Строка 71: Строка 73:
 
* <tex>\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}</tex>.
 
* <tex>\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}</tex>.
  
 +
== Гомоморфизм языков ==
 +
 +
{{Определение
 +
|definition=Отображение <tex>\varphi : \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*</tex>, сохраняющее операцию конкатенации <tex>(\varphi(\alpha\beta) = \varphi(\alpha) \varphi(\beta))</tex>, называется '''гомоморфизмом'''.
 +
}}
 +
Гомоморфизм однозначно задается значениями на алфавите: <tex>\varphi(\overline{c_1 c_2 \ldots c_k}) = \varphi(c_1) \varphi(c_2)\ldots \varphi(c_k)</tex>.
 +
 +
{{Определение
 +
|definition='''Образом языка''' <tex>L \subset \Sigma_1^*</tex> при гомоморфизме <tex>\varphi: \Sigma_1^* \rightarrow \Sigma_2^*</tex> называется язык <tex>\varphi (L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace \varphi (x) | x \in L \rbrace</tex>.
 +
}}
 +
{{Определение
 +
|definition='''Прообразом языка''' <tex>L \subset \Sigma_2^*</tex> при гомоморфизме <tex>\varphi: \Sigma_1^* \rightarrow \Sigma_2^*</tex> называется язык <tex>\varphi^{-1} (L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace x | \varphi (x) \in L \rbrace</tex>.
 +
}}
  
 
== Ссылки ==
 
== Ссылки ==

Версия 17:31, 9 ноября 2013

Базовые определения

Определение:
Алфавит (англ. alphabet) — конечное непустое множество элментов, называемых символами (англ. symbols). Условимся обозначать алфавит большой греческой буквой [math]\Sigma[/math].


Наиболее часто используются следующие алфавиты:

  1. [math]\Sigma=\{0, 1\}[/math] — бинарный или двоичный алфавит.
  2. [math]\Sigma=\{a, b, ...,z\}[/math] — множество строчных букв английского алфавита.


Определение:
Слово (англ. string) или цепочка — конечная последовательность символов некоторого алфавита.


Определение:
Пустая цепочка — цепочка, не содержащая ни одного символа. Эту цепочку, обозначаемую [math] \varepsilon [/math], можно рассматривать как цепочку в любом алфавите.


Определение:
Длина цепочки — число символов в цепочке. Длину некоторой цепочки [math]w[/math] обычно обозначают [math]|w|[/math].


Определение:
[math]\Sigma^k[/math] — множество цепочек длины [math]k[/math] над алфавитом [math]\Sigma[/math].


Определение:
[math]\Sigma^* = \bigcup \limits _{k=0}^\infty \Sigma^k[/math] — множество всех цепочек над алфавитом [math]\Sigma[/math].


Определение:
Язык (англ. language) над алфавитом [math]\Sigma[/math] — некоторое подмножество [math]\Sigma^*[/math]. Иногда такие языки называют формальными (англ. formal), чтобы подчеркнуть отличие от языков в привычном смысле.


Отметим, что язык в [math]\Sigma[/math] не обязательно должен содержать цепочки, в которые входят все символы [math]\Sigma[/math]. Поэтому, если известно, что [math]L[/math] является языком над [math]\Sigma[/math], то можно утверждать, что [math]L[/math] — это язык над любым алфавитом, являющимся надмножеством [math]\Sigma[/math].


Определение:
Пусть [math]x, y \in \Sigma^*[/math]. Тогда [math]xy[/math] обозначает их конкатенацию (англ. concatenation), т.е. цепочку, в которой последовательно записаны цепочки [math] x [/math] и [math] y [/math].


Множество строк с операцией конкатенации образует свободный моноид.

Операции над языками

Пусть [math]L[/math] и [math]M[/math] — языки. Тогда над ними можно определить следующие операции.

  1. Теоретико-множественные операции:
    • [math]L \cup M[/math] — объединение,
    • [math]L \cap M [/math] — пересечение,
    • [math]L \setminus M[/math] — разность,
    • [math]\overline{L}=\Sigma^* \setminus L[/math] — дополнение.
  2. Конкатенация: [math]LM=\left\{\alpha\beta|\alpha \in L, \beta \in M\right\}[/math].
  3. Конкатенация с обратным языком: [math]LR^{-1} = \{ w \mid \exists y \in R : wy \in L\}[/math]; конкатенация с обратным словом: [math]Ly^{-1} = L\{y\}^{-1}, y \in \Sigma^*[/math].
  4. Степень языка: [math]L^k=\begin{cases} \{\varepsilon\}, k = 0\\ LL^{k-1}, k \gt 0. \end{cases} [/math]
  5. Замыкание Клини: [math]L^*=\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}L^i[/math].

Примеры

  • [math](\{0\}^*) \cup (\{1\}^*)[/math] — язык состоит из последовательностей нулей, последовательностей единиц и пустой строки.
  • [math](\{0\}\{0\}^*) \cup (\{1\}\{1\}^*)[/math] — аналогично предыдущему, но не содержит пустую строку.
  • [math](\{0\} \cup \{1\})^* = \{0, 1\}^*[/math] — содержит все двоичные векторы и пустую строку.
  • Если [math]L_p[/math] — язык десятичных представлений всех простых чисел, то язык [math](L_p \setminus (\{3\}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}^*))[/math] будет содержать десятичные представления простых чисел, не начинающихся с тройки.
  • [math]\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}[/math].

Гомоморфизм языков

Определение:
Отображение [math]\varphi : \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*[/math], сохраняющее операцию конкатенации [math](\varphi(\alpha\beta) = \varphi(\alpha) \varphi(\beta))[/math], называется гомоморфизмом.

Гомоморфизм однозначно задается значениями на алфавите: [math]\varphi(\overline{c_1 c_2 \ldots c_k}) = \varphi(c_1) \varphi(c_2)\ldots \varphi(c_k)[/math].


Определение:
Образом языка [math]L \subset \Sigma_1^*[/math] при гомоморфизме [math]\varphi: \Sigma_1^* \rightarrow \Sigma_2^*[/math] называется язык [math]\varphi (L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace \varphi (x) | x \in L \rbrace[/math].


Определение:
Прообразом языка [math]L \subset \Sigma_2^*[/math] при гомоморфизме [math]\varphi: \Sigma_1^* \rightarrow \Sigma_2^*[/math] называется язык [math]\varphi^{-1} (L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace x | \varphi (x) \in L \rbrace[/math].


Ссылки