Основные определения: алфавит, слово, язык, конкатенация, свободный моноид слов; операции над языками — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Гомоморфизм — тоже операция)
Строка 58: Строка 58:
 
#* <tex>L \setminus M</tex> {{---}} разность,
 
#* <tex>L \setminus M</tex> {{---}} разность,
 
#* <tex>\overline{L}=\Sigma^* \setminus L</tex> {{---}} дополнение.
 
#* <tex>\overline{L}=\Sigma^* \setminus L</tex> {{---}} дополнение.
#Конкатенация: <tex>LM=\left\{\alpha\beta|\alpha \in L, \beta \in M\right\}</tex>.
+
# Конкатенация: <tex>LM=\left\{\alpha\beta|\alpha \in L, \beta \in M\right\}</tex>.
#Конкатенация с обратным языком: <tex>LR^{-1} = \{ w \mid \exists y \in R : wy \in L\}</tex>; конкатенация с обратным словом: <tex>Ly^{-1} = L\{y\}^{-1}, y \in \Sigma^*</tex>.
+
# Конкатенация с обратным языком: <tex>LR^{-1} = \{ w \mid \exists y \in R : wy \in L\}</tex>; конкатенация с обратным словом: <tex>Ly^{-1} = L\{y\}^{-1}, y \in \Sigma^*</tex>.
#Степень языка: <tex>L^k=\begin{cases}
+
# Степень языка: <tex>L^k=\begin{cases}
 
\{\varepsilon\}, k = 0\\
 
\{\varepsilon\}, k = 0\\
 
LL^{k-1}, k > 0.
 
LL^{k-1}, k > 0.
 
\end{cases}
 
\end{cases}
 
</tex>
 
</tex>
#Замыкание Клини: <tex>L^*=\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}L^i</tex>.
+
# Замыкание Клини: <tex>L^*=\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}L^i</tex>.
 +
# [[#Гомоморфизм языков| Гомоморфизм]]
  
 
=== Примеры ===
 
=== Примеры ===
Строка 74: Строка 75:
 
* <tex>\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}</tex>.
 
* <tex>\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}</tex>.
  
=== Гомоморфизм языков ===
+
== Гомоморфизм языков ==
  
 
{{Определение
 
{{Определение

Версия 22:21, 15 ноября 2013

Базовые определения

Определение:
Алфавит (англ. alphabet) — конечное непустое множество элементов, называемых символами (англ. symbols). Условимся обозначать алфавит большой греческой буквой [math]\Sigma[/math].


Наиболее часто используются следующие алфавиты:

  1. [math]\Sigma=\{0, 1\}[/math] — бинарный или двоичный алфавит.
  2. [math]\Sigma=\{a, b, ...,z\}[/math] — множество строчных букв английского алфавита.


Определение:
Слово (англ. string) или цепочка — конечная последовательность символов некоторого алфавита.


Определение:
Пустая цепочка — цепочка, не содержащая ни одного символа. Эту цепочку, обозначаемую [math] \varepsilon [/math], можно рассматривать как цепочку в любом алфавите.


Определение:
Длина цепочки — число символов в цепочке. Длину некоторой цепочки [math]w[/math] обычно обозначают [math]|w|[/math].


Определение:
[math]\Sigma^k[/math] — множество цепочек длины [math]k[/math] над алфавитом [math]\Sigma[/math].


Определение:
[math]\Sigma^* = \bigcup \limits _{k=0}^\infty \Sigma^k[/math] — множество всех цепочек над алфавитом [math]\Sigma[/math].


Определение:
Язык (англ. language) над алфавитом [math]\Sigma[/math] — некоторое подмножество [math]\Sigma^*[/math]. Иногда такие языки называют формальными (англ. formal), чтобы подчеркнуть отличие от языков в привычном смысле.


Отметим, что язык в [math]\Sigma[/math] не обязательно должен содержать цепочки, в которые входят все символы [math]\Sigma[/math]. Поэтому, если известно, что [math]L[/math] является языком над [math]\Sigma[/math], то можно утверждать, что [math]L[/math] — это язык над любым алфавитом, являющимся надмножеством [math]\Sigma[/math].


Определение:
Пусть [math]x, y \in \Sigma^*[/math]. Тогда [math] x \cdot y [/math] или [math] xy [/math] обозначает их конкатенацию (англ. concatenation), т.е. цепочку, в которой последовательно записаны цепочки [math] x [/math] и [math] y [/math].


Множество строк с операцией конкатенации образует свободный моноид.

Операции над языками

Пусть [math]L[/math] и [math]M[/math] — языки. Тогда над ними можно определить следующие операции.

  1. Теоретико-множественные операции:
    • [math]L \cup M[/math] — объединение,
    • [math]L \cap M [/math] — пересечение,
    • [math]L \setminus M[/math] — разность,
    • [math]\overline{L}=\Sigma^* \setminus L[/math] — дополнение.
  2. Конкатенация: [math]LM=\left\{\alpha\beta|\alpha \in L, \beta \in M\right\}[/math].
  3. Конкатенация с обратным языком: [math]LR^{-1} = \{ w \mid \exists y \in R : wy \in L\}[/math]; конкатенация с обратным словом: [math]Ly^{-1} = L\{y\}^{-1}, y \in \Sigma^*[/math].
  4. Степень языка: [math]L^k=\begin{cases} \{\varepsilon\}, k = 0\\ LL^{k-1}, k \gt 0. \end{cases} [/math]
  5. Замыкание Клини: [math]L^*=\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}L^i[/math].
  6. Гомоморфизм

Примеры

  • [math](\{0\}^*) \cup (\{1\}^*)[/math] — язык состоит из последовательностей нулей, последовательностей единиц и пустой строки.
  • [math](\{0\}\{0\}^*) \cup (\{1\}\{1\}^*)[/math] — аналогично предыдущему, но не содержит пустую строку.
  • [math](\{0\} \cup \{1\})^* = \{0, 1\}^*[/math] — содержит все двоичные векторы и пустую строку.
  • Если [math]L_p[/math] — язык десятичных представлений всех простых чисел, то язык [math](L_p \setminus (\{3\}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}^*))[/math] будет содержать десятичные представления простых чисел, не начинающихся с тройки.
  • [math]\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}[/math].

Гомоморфизм языков

Определение:
Гомоморфизмом языков [math] \langle L_1, \cdot \rangle [/math] и [math] \langle L_2, \cdot \rangle [/math] называется отображение [math]\Phi \colon L_1 \to L_2[/math] такое, что [math] \Phi(L_1) = \{\varphi(x) | x \in L_1 \} = L_2 [/math], где [math] \varphi \colon \Sigma^{*}_{1} \to \Sigma^{*}_{2} [/math].

Таким образом отображение гомоморфизма сохраняется относительно операции конкатенации, а именно [math] \varphi(\alpha \beta) = \varphi(\alpha)\varphi(\beta)[/math]

Ссылки