1632
правки
Изменения
м
[[Файл: directed_graph.png|thumb|300px|right|Ориентированный граф<br><font color=#ED1C24>Красным</font> выделено ребро (6, 2)<br><font color=#22B14C>Зеленым</font> обозначена петля (6, 6)]]
Заметим, что по такому определению любые две вершины {{Определение|id = isomorphic_graphs|definition='''Изоморфные графы''' (англ. ''isomorphic graphs'') {{---}} два графа <tex>u,~vA</tex> нельзя соединить более чем одним ребром и <tex>(u, v)B</tex>называются изоморфными, если можно установить биекцию между их вершинами и соответствующими им рёбрами.Поэтому часто используют немного другое определение. }}
'''Ориентированным графом''' <tex>G</tex> называется четверка В графе ребро, концы которого совпадают, то есть <tex>G e= (V, E, begv, endv)</tex> , где <tex>beg, end : E \rightarrow V </tex>, а <tex>V</tex> и называется <texb>Eпетлей</texb> - некоторые абстрактные множества. Иногда граф, построенный таким образом называют '''мультиграфом'''. В мультиграфе не допускаются петли (см. определение ниже), но пары вершин допускается соединять более чем одним ребромангл. Такие ребра называются '''кратными''' (иначе - '''параллельные'loop'').
[[Файл: Multigraph.png|thumb|300px|right|а) Мультиграф<br> б) Псевдограф]]
В графе реброСтоит отметить, концы которого совпадаютчто для ориентированного графа справедлива [[Лемма о рукопожатиях|лемма о рукопожатиях]], то есть связывающая количество рёбер с суммой [[Основные определения теории графов#Степень вершины|степеней вершин]]. ==Неориентированные графы=={{Определение|id = def_undirected_graph_1|definition ='''Неориентированным графом''' (англ. ''undirected graph'') <tex>eG</tex> называется пара <tex>G =(V, E)</tex>, где <tex>V</tex> {{---}} множество вершин, а <tex> E \subset \{\{v,u\}: v, u \in V\}</tex>{{---}} множество рёбер.}}{{Определение|id=def_edge_und|definition ='''Ребром''' в неориентированном графе называют неупорядоченную пару вершин <tex> \{v, u\} \in E </tex>.}}[[Файл: Graph_definition_2.png|thumb|210px|center|Неориентированный граф<br>]]Иное определение:{{Определение|id = def_undirected_graph_2|definition ='''Неориентированным графом''' <tex>G</tex> называется тройка <btex>петлейG = (V, E, \operatorname{ends})</btex> , где <tex>V</tex> {{---}} множество вершин, <tex>E</tex> {{---}} множество рёбер, а <tex>\operatorname{ends} : E \to \{\{u, v\}, u, v \in V\}</tex>. Мультиграф Это определение, в отличие от предыдущего, позволяет задавать графы с петлями принято называть кратными рёбрами.}} {{Определение|id = def_simple_graph|definition ='''Простым графом''' <tex>G</tex> называется граф, в котором нет петель и кратных рёбер.}} {{Определение|id = def_graph_degree_1|definition ='''Степенью''псевдографом'(англ. ''degree'', ''valency'') вершины <tex>\operatorname{deg} v_i</tex> в неориентированном графе называют число рёбер, инцидентных <tex>v_i</tex>.}}Будем считать, что петли добавляют к степени вершины <tex>2</tex>.
Если имеется ребро <tex> {{Определение|id = isolated_vertex|definition ='''Изолированной вершиной''' (v, uангл. ''isolated vertex'') \in E </tex>, то иногда говорят, что <tex> u </tex> - <b>родитель</b> <tex> v </tex>. Также вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex> в неориентированном графе называют <b>смежными</b>. Граф с вершину степени <tex> p </tex> вершинами и <tex> q </tex> ребрами называют <tex> (p, q) </tex> - графом. <tex> (1, 0) </tex> - граф называют <b>тривиальным</b>.}}
Так же еще для ориентированных графов определяют '''полустепень входа вершины'''Остальные определения в неориентированном графе совпадают с аналогичными определениями в ориентированном графе.
<tex>deg^-v_i = |\{e~|beg~e = v\}|</tex>.<br><tex>deg^+v_i Представление графов = |\{e~|end~e = v\}|</tex>.<br>
Так как у каждого ребра ровно одно начало === Матрица и ровно один конец выполнено следующее равенство:списки смежности ===
==Неориентированные графы==
[[Файл: Неорграф.png|thumb|300px|right|Неориентированный граф<br>]]
Иное определение:
Две вершины называются {{Определение|id = defBiparateGraph|definition=<span id="Двудольный_граф">'''Двудольный граф'''</span> или '''биграф'''(англ. 'смежными'bipartite graph'' если между ними ) {{---}} граф, множество вершин которого можно разбить на две части таким образом, что каждое ребро графа соединяет какую-то вершину из одной части с какой-то вершиной другой части, то есть реброне существует ребра, соединяющего две вершины из одной и той же части. Двудольный граф с <tex>n</tex> вершинами в одной доле и <tex>m</tex> во второй обозначается <tex>K_{n,m}</tex>.}}
Остальные {{main|Дерево, эквивалентные определения в неориентированном графе совпадают с аналогичными определениями в ориентированном графе}}{{Определение|id=defTree|definition='''Дерево''' (англ.''tree'') {{---}} связный ациклический граф.}}
Вершина{{main|Укладка графа на плоскости}}{{Определение|definition=Граф называется '''планарным''' (vertexангл. ''planar graph'') - Узел, если он обладает укладкой на плоскости. '''Плоским''' (node) - Точка(pointангл. ''plane graph'', ''planar embedding of the graph'') называется граф уже уложенный на плоскости.}}
Путь - Маршрут{{main|Лемма о безопасном ребре}}{{Определение|definition='''Остовное дерево''' etc(англ.''spanning tree'') {{---}} ациклический связный подграф данного связного неориентированного графа, в который входят все его вершины.}}
* [[Ориентированный граф]]
rollbackEdits.php mass rollback
==Ориентированные графы==
{{Определение
|id = oriented_grath
|definition =
'''Ориентированным графом''' (англ. ''directed graph'') <tex>G</tex> называется пара <tex>G = (V, E)</tex>, где <tex>V</tex> {{---}} множество вершин (англ. ''vertices''), а <tex> E \subset V \times V </tex> {{---}} множество рёбер.
}}
{{Определение
|id = finite_graph
|definition =
'''Конечным графом''' (англ. ''finite graph'') <tex>G</tex> называется граф, в котором множества <tex>V</tex> и <tex>E</tex> {{---}} конечны. Следует заметить, что большинство рассматриваевых нами графов {{---}} конечны.
}}
{{Определение
|id = def_graph_edge_1
|definition =
'''Ориентированным графомРебром''' (directed graphангл. ''edge'', дугой (англ. ''arc''), линией (англ. ''line'')) ориентированного графа называют упорядоченную пару вершин <tex>G</tex> называется пара <tex>G = (Vv, Eu)</tex>, где <tex>V</tex> - конечное множество вершин, а <tex> \in E \subset V \times V </tex> - множество рёбер.
}}
Два ребра, имеющие общую концевую вершину, то есть <tex>e_1=(v, u_1)</tex> и <tex>e_2=(v, u_2)</tex>, называются '''смежными''' (англ. ''adjacent'').
Если имеется ребро <tex> (v, u) \in E </tex>, то говорят:
* <tex> v </tex> {{---}} '''предок''' (англ. ''direct predecessor'') <tex> u </tex>.
* <tex> u </tex> и <tex> v </tex> {{---}} '''смежные'''.
* Вершина <tex> u </tex> '''инцидентна''' ребру <tex> (v, u) </tex>.
* Вершина <tex> v </tex> '''инцидентна''' ребру <tex> (v, u) </tex>.
'''Инцидентность''' (англ. ''incidence'') {{---}} понятие, используемое только в отношении ребра и вершины. Две вершины или два ребра не могут быть инцидентны.
Граф с <tex> p </tex> вершинами и <tex> q </tex> рёбрами называют <tex> (p, q) </tex>-графом. <tex> (1, 0) </tex>-граф называют <b>тривиальным</b>.
Заметим, что по определению ориентированного графа, данному выше, любые две вершины <tex>u,~v</tex> нельзя соединить более чем одним ребром <tex>(u, v)</tex>.
Поэтому часто используют другое определение.
{{Определение
|id = def1
|definition =
'''РебромОриентированным графом''' ориентированного графа называют упорядоченную пару вершин <tex> G</tex> называется четверка <tex>G = (vV, uE, \operatorname{beg}, \operatorname{end}) </tex> , где <tex>V</tex> и <tex>E</tex> {{---}} некоторые множества, а <tex>\in operatorname{beg}, \operatorname{end} : E \rightarrow V</tex>. }} Данное определение разрешает соединять вершины более чем одним ребром. Такие рёбра называются '''кратными''' (иначе {{---}} '''параллельные''', англ. ''multi-edge'', ''parallel edge''). Граф с кратными рёбрами принято называть '''мультиграфом''' (англ. ''multigraph''). Если в мультиграфе присутствуют петли, то такой граф называют '''псевдографом''' (англ. ''pseudograph'').{|border="0" cellpadding="5" width=30% align=center|[[Файл: Graph_definition_1.png|thumb|210px|center|<font color=#ff2a2a>Красным</font> выделено кратное ребро (6, 2)<br><font color=#3771c8>Синим</font> обозначена петля (6, 6)]]|[[Файл: Multi_graph.png|thumb|150px|center|Мультиграф]]|[[Файл: Pseudo_graph.png|thumb|150px|center|Псевдограф]]||} {{Определение|definition=Для ориентированных графов определяют '''полустепень исхода вершины''' (англ. ''outdegree'') <tex>\operatorname{deg}^+v_i = |\{e \mid \operatorname{beg(e)} = v_i\}|</tex> и '''полустепень захода вершины''' (англ. ''indegree'') <tex>\operatorname{deg}^-v_i = |\{e \mid \operatorname{end(e)} = v_i\}|</tex>.
}}
Граф можно представить в виде [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] (англ. ''adjacency matrix''), где <tex>\sum\limits_{graph[v][u] = true \in VLeftrightarrow (Gv, u)}deg^-v_i = \sum\limits_{v\in VE</tex>. Также в ячейке матрицы можно хранить вес ребра или их количество (Gесли в графе разрешены параллельные рёбра)}deg^+v_i = |E.Для матрицы смежности существует [[Связь степени матрицы смежности и количества путей|теорема]], позволяющая связать степень матрицы и количество путей из вершины <tex>v</tex> в вершину <tex>u</tex>.
Если граф '''разрежен''' (англ. ''sparse graph''), <tex>|E| \ll |V^2|</tex>, то есть, неформально говоря, в нем не очень много рёбер. Формально говорить не получается, потому что везде разреженные графы определяются по-разному, его лучше представить в виде списков смежности, где список для вершины <tex>v</tex> будет содержать вершины <tex>u: (v, u) \in E</tex>. Данный способ позволит сэкономить память, так как не придется хранить много нулей.
=== Пути в графах ===
{{Определение
|id = path
|definition =
'''Путём''' (маршрутом,англ. ''path'') в графе называется последовательность вида <tex>v_0 e_1 v_1 ... e_k v_k</tex>, где <tex>e_i \in E,~e_i = (v_{i-1}, v_i), k</tex>{{---}} '''длина''' (англ. ''length'') пути.}} {{Определение|definition='''Длина пути''' {{---}} количество [[Основные определения теории графов|рёбер]], входящих в последовательность, задающую этот путь.
}}
{{Определение
|definition =
'''Циклическим путём''' (англ. ''closed walk'') в ''ориентированном графе'' называется путь, в котором <tex>v_0 = v_k</tex>.
}}
{{Определение
|id = def_no_graph_path
|definition =
'''ЦиклЦиклическим путём''' - это класс эквивалентности циклических путей на отношении эквивалентности такомв ''неориентированном графе'' называется путь, что два пути эквивалентныв котором <tex>v_0 = v_k</tex>, если а также <tex> e_i \exists j : \forall i \Rightarrow ne e_{(i \mod bmod k)} = e'_{(i + j) \mod k1}</tex>; где <tex>e</tex> и <tex>e'</tex> - это две последовательности ребер в циклическом пути.
}}
{{Определение
|id = def_graph_cycle_1
|definition =
'''Неориентированным графомЦикл''' (англ. ''integral cycle'') {{---}} это [[Отношение эквивалентности#Классы эквивалентности|класс эквивалентности]] циклических путей на отношении эквивалентности таком, что два пути эквивалентны, если <tex>G</tex> называется пара <tex>G \exists j \forall i : e_{(i \mod k)} = e'_{(V, Ei + j)\bmod k}</tex>, ; где <tex>Ve</tex> - конечное множество вершин, а и <tex> E \subset V \times V(uv ~ vu \{uu~|~u \in V\})e'</tex> {{--- множество }} это две последовательности рёберв циклическом пути.
}}
{{Определение|definition='''Неориентированным графомПростой (вершинно-простой) путь''' <tex>G = (V, E, endsангл. ''simple path'')</tex> {{---}} путь, где <tex>ends : E \rightarrow V \times V</tex>в котором каждая из вершин графа встречается не более одного раза.}}{{Определение|definition='''Рёберно-простой путь''' {{---}} путь, а <tex>V</tex> и <tex>E</tex> - некоторые абстрактные множествав котором каждое из рёбер графа встречается не более одного раза. }}
== Часто используемые графы =={{Определение|id = defFullGraph|definition='''РебромПолный граф''' (англ. ''complete graph'', ''clique'') {{---}} граф, в неориентированном графе называют неупорядоченную пару котором каждая пара различных вершин смежна. Полный граф с <tex>n</tex> вершинами имеет <tex> n(v, un-1) \in E /2</tex> рёбер и обозначается <tex>K_n</tex>.}}
{{Определение|id = defRegularGraph|definition='''СтепенюРегулярный граф''' вершины (англ. ''regular graph'') {{---}} граф, степени всех вершин которого равны, то есть каждая вершина имеет одинаковое количество соседей. Регулярный граф с вершинами степени <tex>deg~v_ik</tex> называют число ребер, инцидентных называется <tex>v_ik</tex>. Будем считать‑регулярным, что петли добавляют к или регулярным графом степени вершины <tex>2k</tex>.}}
{{main|Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов}}{{Определение|definition==Замечание==В разной литературе используются разные термины для определения одного и того жеГраф называется '''эйлеровым''' (англ. ''eulerian graph''), если он содержит эйлеров цикл. }}
{{main|Гамильтоновы графы}}{{Определение|definition=Граф называется '''гамильтоновым'''Ребро(edge) - Дуга(arc) - Линия(lineангл. ''hamiltonian graph''), если он содержит гамильтонов цикл.}}
==См. также==
* [[Лемма о рукопожатиях]]
* [[Матрица смежности графа]]
* [[Связь степени матрицы смежности и количества путей]]
==ЛитератураИсточники информации==* [[wikipedia:ru:Граф_(математика) | Википедия {{---}} Граф]]* [[wikipedia:Graph_(mathematics) | Wikipedia {{---}} Graph]]* [http://mathworld.wolfram.com/Graph.html Wolfram Mathworld: Graph]
* Харари Фрэнк '''Теория графов''' = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с. — ISBN 5-354-00301-6
* Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. '''Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы''' — НИЦ РХД, 2001. — 288 с. — ISBN 5-93972-076-5
