1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
Докажем единственность. <br>
Пусть <tex>\exists y^{\ast} = y^{\ast}(x) \: - </tex> решение задачи Коши: <tex>y^{\ast} \not\equiv y</tex>, оценим величину <tex>\left | y_{n} - y^{\ast} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{n - 1}) - f(\bar{x}, y^{\ast}) \right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{n - 1} - y^{\ast} \right | d\bar{x} </tex><br>
так как <tex>\left | y_{1} - y^{\ast} \right | \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{0} - y^{\ast} \right | d\bar{x} \leqslant M l h</tex>, следовательно <tex>\left | y_{n} - y^{\ast} \right | \leqslant \frac{l^{n}Mh^{n}}{n!}</tex>, значит левая часть стремится к 0 при <tex>n \leftarrow rightarrow +\infty</tex> и по единственности предела <tex>y^{\ast} \equiv y</tex>. Противоречие. }}
==Особые точки и особые решения==
{{Определение|definition = Пусть уравнение 1-го порядка удовлетворяет условию теоремы Пикара, тогда в любой точке любая точка из области D называется обыкновенной точкой. Иначе она называется особой.}}
{{Nota Bene|notabene= Через особые точки не проходит ни одной кривой, либо их не меньше двух.}}
{{Определение|definition= Особым решением называется решение, которое не удовлетворяет условию единственности.}}
{{Nota Bene|notabene= Особое решение обладает тем свойством, что в любой окрестности любой его точки существуют, по крайней мере, две интегральные кривые, проходящие через эту точку.}}
