Основные понятия и теорема Пикара — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Особые точки и особые решения)
Строка 1: Строка 1:
 +
{| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
 +
|+
 +
|-align="center"
 +
|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
 +
|-style="font-size: 16px;"
 +
|
 +
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
 +
 +
Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
 +
 +
Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
 +
 +
Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
 +
 +
''Антивоенный комитет России''
 +
|-style="font-size: 16px;"
 +
|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
 +
|-style="font-size: 16px;"
 +
|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
 +
|}
 +
 
[[Основные понятия и теорема Пикара]]
 
[[Основные понятия и теорема Пикара]]
  

Версия 08:23, 1 сентября 2022

НЕТ ВОЙНЕ

24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.

Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.

Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.

Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.

Антивоенный комитет России

Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
meduza.io, Популярная политика, Новая газета, zona.media, Майкл Наки.

Основные понятия и теорема Пикара

Определения

Определение:
Соотношение вида [math]F(x, y(x), {y}'(x), ... , y^{(n)}(x)) = 0\:(1)[/math] называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).


Определение:
Порядок наивысшей производной входящей в уравнение называется порядком уравнения.


Определение:
[math]F(x, y(x), {y}'(x)) = 0\:(2)\: - [/math] дифференциальное уравнение 1-го порядка


Определение:
Решением дифференциального уравнения [math](2)[/math] называется функция [math]y(x) \in C(a,b):[/math]
[math]F(x, y(x), {y}'(x)) \equiv 0[/math]


Определение:
[math]\frac{dy}{dx}=f(x,y)\:(3) - [/math] уравнение в нормальной форме.


Определение:
Изоклиной ДУ[math](3)[/math] называется кривая определяемая равенством [math]f(x,y)=k[/math], где [math]k - const , tg\alpha = k[/math].


Определение:
Общим решением ДУ 1-го порядка [math]y = \phi (x, C):[/math] для любого наперед заданного значения [math]C_{0}, \:\: y = \phi (x, C_{0}) - [/math] решение ДУ


Задача Коши

Определение:
Задача нахождения решения дифференциального уравнения [math]\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x, y)[/math], которое удовлетворяет следующим условиям:
[math]\left\{\begin{matrix} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x, y) \\ y = y_{0}, \:\: \mathrm{if} \:\: x = x_{0} \end{matrix}\right.[/math]
называется задачей Коши (начальной задачей)

в некоторых случаях удается упростить решение задачи Коши наложив ограничения на [math]f(x,y):[/math]
[math]f(x,y) \in C(D), \:\: D = \left\{\begin{matrix} \left | x-x_{0} \right | \leqslant a \\ \left | y-y_{0} \right | \leqslant b \end{matrix}\right.[/math]
[math]\Rightarrow \:\: \left | f(x, y) \right | \leqslant M, \:\: M \gt 0[/math]

Определение:
условие Липшица:
[math]\left | f(x,\bar{y}) - f(x, \bar{\bar{y}}) \right | \leq l \left | \bar{\bar{y}} - \bar{y} \right |, \:\: \forall (x,\bar{y}), (x,\bar{\bar{y}}) \in D[/math] для некоторой константы [math]l \gt 0[/math]

Очевидно, условие Липшица выполняется при условии [math]\left | \frac{\partial f}{\partial y} \right | \in C(D)[/math].

Теорема (Пикар):
Пусть [math]f(x,y)[/math] удовлетворяет условию Липшица и [math]f(x,y) \in C(D)[/math], тогда существует единственное решение задачи Коши [math]y=y(x), \:\: y \in C(\left | x-x_{0} \right | \leqslant h)[/math], где [math]h = min(a, \frac{b}{M})[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Переформулируем задачу Коши следующим образом: [math]y(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y)d\bar{x}[/math]
Будем строить решение задачи Коши итеративным методом: [math]y_{n}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y_{n-1}(\bar{x}))d\bar{x}[/math]. Далее возможны два случая:
1) [math]y_{n}(x) \equiv y_{0} \:\: \Rightarrow \:\: f(x, y_{0}) = 0 \:\: \Rightarrow \:\: y_{0} -[/math] решение.
2) [math]f(x, y_{0}) \neq 0:[/math] предварительно докажем, что:
[math]a) \:\:\: y_{n}(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)[/math]
[math]b) \:\:\: \left | y_{n}(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h[/math]
[math]c) \:\:\: y_{n}(x) \rightrightarrows \bar{y}(x) \:\:[/math]
[math]d) \:\:\: \bar{y}(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)[/math]
[math]e) \:\:\: \left | \bar{y}(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h[/math]

a), b) База: [math] \:\: y_{1}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y_{0}(\bar{x}))d\bar{x} \: .[/math] По теореме Барроу [math]y_{1}(x) \: - [/math] непрерывна при [math]\left | x - x_{0} \right | \leqslant a.[/math]
[math]\left | y_{1}(x) - y_{0} \right | \leqslant \left | \int_{x_{0}}^{x} f(\bar{x}, y_{0})d\bar{x} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{0})\right |d\bar{x} \leqslant M \left | x - x_{0} \right | \leqslant Mh \leqslant b.[/math]
переход доказывается аналогично.
c) Для доказательства равномерной сходимости воспользуемся признаком Вейерштрасса. Составим функциональный ряд [math]y_{0} + (y_{1} - y_{0}) + (y_{2} - y_{1}) + \dotsb[/math] и замажорируем его слагаемое слагаемым сходящейся числовой последовательности.
[math]\left | y_{1} - y_{0} \right | \leqslant M \left | x - x_{0} \right | \leqslant Mh[/math]
[math]\left | y_{2} - y_{1} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{1}) - f(\bar{x}, y_{0}) \right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{1} - y_{0}\right |d\bar{x} \leqslant [/math] [math]lM \int_{x_{0}}^{x}\left | \bar{x} - x_{0} \right | d\bar{x} = lM \frac{\left | x - x_{0} \right |^{2}}{2} \leqslant \frac{M}{l} \frac{(lh)^{2}}{2}[/math]
[math]\left | y_{3} - y_{2}\right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{2}) - f(\bar{x}, y_{1})\right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{2} - y_{1}\right |d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}lM \frac{\left | \bar{x} - x_{0} \right |^{2}}{2}d\bar{x} =[/math] [math] \frac{M}{l} \frac{(l\left | x - x_{0} \right |)^{3}}{6} \leqslant \frac{M}{l} \frac{(lh)^{3}}{3!}[/math]
[math]...[/math]
[math]\left | y_{n} - y_{n - 1} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{n - 1}) - f(\bar{x}, y_{n - 2})\right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{n - 1} - y_{n - 2}\right |d\bar{x} \leqslant [/math] [math] l \int_{x_{0}}^{x}\frac{M}{l} \frac{(l \left | \bar{x} - x_{0} \right |)^{n - 1}}{(n - 1)!}d\bar{x} = \frac{M}{l} \frac{(l\left | x - x_{0} \right |)^{n}}{n!} \leqslant \frac{M}{l} \frac{(lh)^{n}}{n!}[/math]
Теперь проверим сходимость полученного числового ряда: [math] \frac{M}{l} (lh + \frac{(lh)^{2}}{2!} + \frac{(lh)^{3})}{3!} + \dotsb) = \frac{M}{l} (e^{lh} - 1).[/math] Видим, что числовой ряд сходистя, значит исходный функциональный ряд равомерно сходится к некоторой функции [math]\bar{y}(x)[/math], которая будет непрерывна и ограничена в силу непрерывности и ограниченности [math]y_{n}(x)[/math] ( d), e)).
Теперь проверим, что [math]\bar{y}(x)[/math] является решением задачи Коши. т.к. [math]y_{n}(x) \rightrightarrows \bar{y}(x) \:\: \Leftrightarrow \: \forall \varepsilon \gt 0 \: \exists N \in \mathbb{N}: \forall n \gt N \Rightarrow \left | y_{n}(x) - \bar{y}(x) \right | \lt \varepsilon, \: [/math][math]\: \forall x \in (x_{0} - h, x_{0} + h).[/math]
[math]\left | \int_{x_{0}}^{x} (f(\bar{x}, y_{n}) - f(\bar{x}, \bar{y}))d\bar{x} \right | \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{n} - \bar{y} \right |d\bar{x} \leqslant l \varepsilon h[/math]. Видим, что для функции [math]\bar{y}(x)[/math] выполяется [math]\bar{y}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},\bar{y})d\bar{x}[/math] значит, она будет решением.
Докажем единственность.
Пусть [math]\exists y^{\ast} = y^{\ast}(x) \: - [/math] решение задачи Коши: [math]y^{\ast} \not\equiv y[/math], оценим величину [math]\left | y_{n} - y^{\ast} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{n - 1}) - f(\bar{x}, y^{\ast}) \right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{n - 1} - y^{\ast} \right | d\bar{x} [/math]

так как [math]\left | y_{1} - y^{\ast} \right | \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{0} - y^{\ast} \right | d\bar{x} \leqslant M l h[/math], следовательно [math]\left | y_{n} - y^{\ast} \right | \leqslant \frac{l^{n}Mh^{n}}{n!}[/math], значит левая часть стремится к 0 при [math]n \rightarrow +\infty[/math] и по единственности предела [math]y^{\ast} \equiv y[/math]. Противоречие.
[math]\triangleleft[/math]

Особые точки и особые решения

Определение:
Пусть уравнение 1-го порядка удовлетворяет условию теоремы Пикара, тогда любая точка из области D называется обыкновенной точкой. Иначе она называется особой.


N.B.:
Через особые точки не проходит ни одной кривой, либо их не меньше двух.


Определение:
Особым решением называется решение, которое не удовлетворяет условию единственности.


N.B.:
Особое решение обладает тем свойством, что в любой окрестности любой его точки существуют, по крайней мере, две интегральные кривые, проходящие через эту точку.