Редактирование: Остаток формулы Тейлора в интегральной форме

{{В разработке}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]

{{Утверждение
|statement=
Пусть в окрестности точки <tex>x_0</tex> функция <tex>f<ztex> <tex>n + 1</tex> раз дифференцируема и её <tex>(n + 1)</tex>-я производная интегрируема. Тогда в окрестности точки <tex>x_0</tex> <tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)} (x_0)}{k!}(x - x_0)^k + \frac1{n!} \int\limits_{x_0}^x f^{(n + 1)}(t) (x-t)^n dt</tex>. 
Эта формула называется формулой Тейлора с записью остатка в интегральной форме.
|proof=
Докажем по индукции.

База: <tex>n = 0</tex>. 

<tex> f(x) = \frac{f^{(0)} (x_0)}{0!}(x - x_0)^0 + \frac{1}{0!}\int\limits_{x_0}^x f'(t) (x - t)^0 dt </tex>. Заметим, что это формула Ньютона-Лейбница:

<tex> f(x) = f^{(0)}(x_0) + \int\limits_{x_0}^x f'(t) dt </tex>

<tex> f(x) - f(x_0) = \int\limits_{x_0}^x f'(t) dt </tex>

Проделаем шаг <tex>n \to n + 1</tex>:

Так как формула верна для <tex>n</tex> то <tex>f</tex> можно записать как <tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)} (x_0)}{k!}(x - x_0)^k + \frac1{n!} \int\limits_{x_0}^x f^{(n + 1)}(t) (x-t)^n dt</tex>.

Теперь преобразуем интеграл, интегрируя по частям:

<tex>\frac1{n!} \int\limits_{x_0}^x f^{(n + 1)} (t) (x - t)^n dt = </tex>(внося <tex>(x - t)^n</tex> под знак дифференциала) <tex>\frac{1}{(n + 1)!} \int\limits_{x_0}^x f^{(n + 1)}(t) d(-(x-t)^{n + 1}) = </tex> <tex>\frac1{(n+1)!} (f^{(n + 1)}(t) (-(x-t)^{n + 1})) |^x_{x_0} + \frac1{(n + 1)!} \int\limits_{x_0}^x f^{(n + 2)}(t) (x - t)^{n + 1} dt = </tex> <tex>\frac1{(n+1)!} f^{(n + 1)}(x_0) (x - x_0)^{n + 1} + \frac1{(n + 1)!}\int\limits_{x_0}^x f^{(n + 2)}(t) (x - t)^{n + 1} dt</tex>

По индукции получаем, что формула верна для любого <tex>n</tex>.
}}