Изменения

Пусть в окрестности точки <tex>x_0</tex> функция <tex>f<ztex/tex> <tex>n + 1</tex> раз дифференцируема и её <tex>(n + 1)</tex>-я производная интегрируема. Тогда в окрестности точки <tex>x_0</tex> <tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)} (x_0)}{k!}(x - x_0)^k + \frac1{n!} \int\limits_{x_0}^x f^{(n + 1)}(t) (x+-t)^n dt</tex>.

<tex>f(x) = \frac{f^{(0)} (x_0)}{0!}(x - x_0)^0 + \frac{1}{0!}\int\limits_{x_0}^x f'(t) (x - t)^0 dt</tex>. Заметим, что это формула Ньютона-Лейбница. {{TODO|t=чо, правда?}}:

Проделаем шаг <tex>n f(x) = f^{(0)}(x_0) + \to n + 1int\limits_{x_0}^x f'(t) dt </tex>.

<tex> f(x) - f(x_0) = \int\limits_{x_0}^x f'(t) dt </tex> Проделаем шаг <tex>n \to n + 1</tex>: Так как формула верна для <tex>n</tex> то <tex>f</tex> можно записать как <tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)} (x_0)}{k!}(x - x_0)^k + \frac1{n!} \int\limits_{x_0}^x f^{(n + 1)}(t) (x+-t)^n dt</tex>.