Остаток формулы Тейлора в интегральной форме

Материал из Викиконспекты
Версия от 21:04, 6 января 2011; Sementry (обсуждение | вклад) (>Чо, правда? -Правда, правда.)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Эта статья находится в разработке!
Утверждение:
Пусть в окрестности точки [math]x_0[/math] функция [math]f[/math] [math]n + 1[/math] раз дифференцируема и её [math](n + 1)[/math]-я производная интегрируема. Тогда в окрестности точки [math]x_0[/math] [math]f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)} (x_0)}{k!}(x - x_0)^k + \frac1{n!} \int\limits_{x_0}^x f^{(n + 1)}(t) (x-t)^n dt[/math]. Эта формула называется формулой Тейлора с записью остатка в интегральной форме.
[math]\triangleright[/math]

Докажем по индукции.

База: [math]n = 0[/math].

[math] f(x) = \frac{f^{(0)} (x_0)}{0!}(x - x_0)^0 + \frac{1}{0!}\int\limits_{x_0}^x f'(t) (x - t)^0 dt [/math]. Заметим, что это формула Ньютона-Лейбница:

[math] f(x) = f^{(0)}(x_0) + \int\limits_{x_0}^x f'(t) dt [/math]

[math] f(x) - f(x_0) = \int\limits_{x_0}^x f'(t) dt [/math]

Проделаем шаг [math]n \to n + 1[/math]:

Так как формула верна для [math]n[/math] то [math]f[/math] можно записать как [math]f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)} (x_0)}{k!}(x - x_0)^k + \frac1{n!} \int\limits_{x_0}^x f^{(n + 1)}(t) (x-t)^n dt[/math].

Теперь преобразуем интеграл, интегрируя по частям:

[math]\frac1{n!} \int\limits_{x_0}^x f^{(n + 1)} (t) (x - t)^n dt = [/math](внося [math](x - t)^n[/math] под знак дифференциала) [math]\frac{1}{(n + 1)!} \int\limits_{x_0}^x f^{(n + 1)}(t) d(-(x-t)^{n + 1}) = [/math] [math]\frac1{(n+1)!} (f^{(n + 1)}(t) (-(x-t)^{n + 1})) |^x_{x_0} + \frac1{(n + 1)!} \int\limits_{x_0}^x f^{(n + 2)}(t) (x - t)^{n + 1} dt = [/math] [math]\frac1{(n+1)!} f^{(n + 1)}(x_0) (x - x_0)^{n + 1} + \frac1{(n + 1)!}\int\limits_{x_0}^x f^{(n + 2)}(t) (x - t)^{n + 1} dt[/math]

По индукции получаем, что формула верна для любого [math]n[/math].
[math]\triangleleft[/math]