Дан [[Файл:MST-example.png|right|thumb|200px|Пример минимального остовного дерева.]]==Необходимые определения==Рассмотрим связный неориентированный взвешенный [[Основные определения теории графов|граф ]] <tex> G = (V, E) </tex>, где <tex>\ V </tex> {{--- }} множество [[Основные определения теории графов| вершин]], <tex>E </tex> {{---}} множество [[Основные определения теории графов|ребер]]. Вес ребра определяется, как функция <tex>w : E \ to \mathbb{R} </tex>. {{Определение|id = spanning_tree|definition ='''Остовное дерево''' (англ. ''spanning tree'') графа <tex> G = ( V, E ) </tex> {{---}} ациклический связный подграф данного связного неориентированного графа, в который входят все его вершины.}}{{Определение|definition ='''Минимальное остовное дерево''' (англ. ''minimum spanning tree'') графа <tex> G = ( V, E ) </tex> {{- множество --}} это его ациклический связный подграф, в который входят все его вершины, обладающий минимальным суммарным весом ребер. }}Заметим, что граф может содержать несколько минимальных остовных деревьев. Для каждого ребра формулировки и доказательства леммы о безопасном ребре рассмотрим следующие определения. Пусть <tex>G'</tex> {{---}} подграф некоторого минимального остовного дерева графа <tex> G = ( V, E ) </tex>.{{Определение|definition =Ребро <tex> ( u, v ) \notin G' </tex> называется '''безопасным''' (англ. ''safe edge''), если при добавлении его в <tex> G' </tex>, <tex> G' \cup \{ ( u, v ) \}</tex> также является подграфом некоторого минимального остовного дерева графа <tex> G </tex>.}}{{Определение|definition ='''Разрезом''' (англ. ''cut'') неориентированного графа <tex> G = ( V, E ) </tex> называется разбиение <tex> V </tex> на два непересекающихся подмножества: <tex> S </tex> и <tex> T = V \setminus S </tex>. Обозначается как <tex>\ e langle S, T \rangle </tex>.}}{{Определение|definition =Ребро <tex> ( u, v ) \in E </tex> задана весовая функция '''пересекает''' (англ. ''crosses'') разрез <tex>\ langle S, T \rangle </tex>, если один из его концов принадлежит множеству <tex> S </tex>, а другой {{---}} множеству <tex> T </tex>.}} ==Лемма о безопасном ребре=={{Теорема|statement=Рассмотрим связный неориентированный взвешенный граф <tex> G = ( V, E ) </tex> с весовой функцией <tex>w: E \to \mathbb{R}</tex>. Пусть <tex> G' = ( V, E' ) </tex> {{---}} подграф некоторого минимального остовного дерева <tex> G </tex>, <tex> \langle S, T \rangle </tex> {{---}} разрез <tex> G </tex>, такой, что ни одно ребро из <tex> E' </tex> не пересекает разрез, а <tex> (u, v) </tex>{{---}} ребро минимального веса среди всех ребер, которая определяет стоимость перехода из пересекающих разрез <tex> \langle S, T \rangle </tex>. Тогда ребро <tex> e = ( u, v ) </tex> является безопасным для <tex> G'</tex>.|proof=[[Файл:Лемма_о_безопасном_ребре.png|right|thumb|300px]]Достроим <tex> E' </tex> до некоторого минимального остовного дерева, обозначим его <tex>T_{min}</tex>. Если ребро <tex>e \in T_{min}</tex>, то лемма доказана, поэтому рассмотрим случай, когда ребро <tex>e \ notin T_{min}</tex>. Рассмотрим путь в <tex>T_{min}</tex> от вершины <tex>u </tex> до вершины <tex>v</tex>. Так как эти вершины принадлежат разным долям разреза, то хотя бы одно ребро пути пересекает разрез, назовем его <tex>e'</tex>. По условию леммы <tex>w(e) \leqslant w(e')</tex>. Заменим ребро <tex>e'</tex> в <tex>T_{min}</tex> на ребро <tex>e</tex>. Полученное дерево также является минимальным остовным деревом графа <tex>G</tex>, поскольку все вершины <tex>G</tex> по-прежнему связаны и вес дерева не увеличился. Следовательно <tex>E' \ v cup \{e\} </tex> можно дополнить до минимального остовного дерева в графе <tex>G</tex>, то есть ребро <tex>e</tex>{{---}} безопасное.}} ==Cм. также==*[[Алгоритм Прима]]*[[Алгоритм Краскала]]*[[Алгоритм Борувки]] ==Источники информации==* Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. {{---}} Алгоритмы. Построение и анализ : Вильямс, 2-е издание, 2005, С. 644-649 [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]] [[Категория: Остовные деревья]][[Категория: Построение остовных деревьев]]
