Отношение порядка — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показана 21 промежуточная версия 10 участников)
Строка 2: Строка 2:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''отношением частичного порядка''', если оно обладает следующими свойствами:
+
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''отношением частичного порядка''' (англ. ''partial order relation''), если оно обладает следующими свойствами:
* [[Рефлексивное отношение|Рефлексивность]]: <tex>\forall a \in X: aRa</tex>.
+
* [[Рефлексивное отношение|Рефлексивность]] (англ. ''reflexivity''): <tex>\forall a \in X: aRa</tex>.
* [[Симметричное отношение|Антисимметричность]]: <tex>\forall a, b \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRa</tex>, то <tex> a = b </tex>.
+
* [[Антисимметричное отношение|Антисимметричность]] (англ. ''antisymmetry''): <tex>\forall a, b \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRa</tex>, то <tex> a = b </tex>.
* [[Транзитивное отношение|Транзитивность]]: <tex>\forall a, b, c \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRc</tex>, то <tex>aRc</tex>.
+
* [[Транзитивное отношение|Транзитивность]] (англ. ''transitivity''): <tex>\forall a, b, c \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRc</tex>, то <tex>aRc</tex>.
 
}}
 
}}
 
Множество <tex>X</tex>, на котором введено отношение частичного порядка, называется '''частично упорядоченным'''.
 
Множество <tex>X</tex>, на котором введено отношение частичного порядка, называется '''частично упорядоченным'''.
  
Отношение частичного порядка также называют '''нестрогим порядком'''.
+
Отношение частичного порядка также называют '''нестрогим порядком''' (англ. ''non-strict order'').
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''строгим отношением частичного порядка''', если оно обладает следующими свойствами:
+
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''строгим отношением частичного порядка''' (англ. ''strict order relation''), если оно обладает следующими свойствами:
* [[Рефлексивное отношение|Антирефлексивность]]: <tex>\forall a \in X: aRa </tex>- не выполняется.
+
* [[Рефлексивное отношение|Антирефлексивность]] (англ. ''irreflexivity''): <tex>\forall a \in X: aRa </tex> не выполняется.
* [[Симметричное отношение|Антисимметричность]]: <tex>\forall a, b \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>aRx</tex>, то <tex> a = b </tex>.
+
* [[Антисимметричное отношение|Антисимметричность]] (англ. ''antisymmetry''): <tex>\forall a, b \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRa</tex>, то <tex> a = b </tex>.
* [[Транзитивное отношение|Транзитивность]]: <tex>\forall a, b, c \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRc</tex>, то <tex>aRc</tex>.
+
* [[Транзитивное отношение|Транзитивность]]: (англ. ''transitivity'') <tex>\forall a, b, c \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRc</tex>, то <tex>aRc</tex>.
 
}}
 
}}
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''отношением линейного порядка''', если оно является отношением частичного порядка и обладает следующим свойством:
+
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''отношением линейного порядка''' (англ. ''total order relation''), если оно является отношением частичного порядка и обладает следующим свойством:
  <tex>\forall a \in X \forall b \in X либо aRb, либо bRa</tex>.
+
  <tex>\forall a \in X \forall b \in X</tex> либо <tex>aRb</tex>, либо <tex>bRa</tex>.
 
}}
 
}}
Множество <tex>X</tex>, на котором введено отношение линейного порядка, называется '''линейно упорядоченным'''.
+
Множество <tex>X</tex>, на котором введено отношение линейного порядка, называется '''линейно упорядоченным''' (англ. ''total order'').
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''отношением полного порядка''', если оно является отношением линейного порядка и обладает следующим свойством:
+
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''отношением полного порядка''' (англ. ''well-order relation''), если оно является отношением линейного порядка и обладает следующим свойством:
  <tex>\forall Y \in X \exists a \in Y \forall b \in Y: aRb</tex>.
+
  <tex>\forall Y \subset  X \exists a \in Y \forall b \in Y: aRb</tex>.
 
}}
 
}}
Множество <tex>X</tex>, на котором введено отношение полного порядка, называется '''полностью упорядоченным'''.
+
Множество <tex>X</tex>, на котором введено отношение полного порядка, называется '''полностью упорядоченным''' (англ. ''well-order'').
  
Отношение нестрогого порядка обозначают символом <tex>\leqslant</tex>. Запись вида <tex>a \leqslant b</tex> читают как "<tex>a</tex> меньше либо равно <tex>b</tex>".
+
Отношение нестрогого порядка обозначают символом <tex>\leqslant</tex>. Запись вида <tex>a \leqslant b</tex> читают как «<tex>a</tex> меньше либо равно <tex>b</tex>».
 +
 
 +
Отношение строгого порядка обозначают символом <tex><</tex>. Запись вида <tex>a < b</tex> читают как «<tex>a</tex> меньше <tex>b</tex>».
  
Отношение строгого порядка обозначают символом <tex><</tex>. Запись вида <tex>a < b</tex> читают как "<tex>a</tex> меньше <tex>b</tex>".
 
 
 
== Примеры ==
 
== Примеры ==
 +
 
* На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка, а «больше или равно» и «меньше или равно» — нестрогого, причем линейного порядка, но не полного.
 
* На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка, а «больше или равно» и «меньше или равно» — нестрогого, причем линейного порядка, но не полного.
* Отношение "являться делителем" на множестве целых чисел является отношением частичного порядка.
+
* Отношение «является делителем» на множестве натуральных чисел является отношением частичного порядка.
* <tex>a</tex> находится в отношении с <tex>b</tex>, если <tex>\frac{a}{b} \leqslant 1</tex>. В качестве множества возьмём натуральные числа. Проверим свойства:
+
* Отношение «меньше или равно» является отношением полного порядка на множестве натуральных чисел.
 
+
* Отношение «лексикографически не меньше» на множестве всех возможных слов, составленных из букв русского алфавита, является отношением полного порядка.
1) <tex> \forall a \in X:\frac{a}{a} \leqslant 1</tex>
+
* Отношение «состоит в подчинении» на множестве работников компании является отношением нестрогого порядка.  
 
+
* Можно рассмотреть отношение «не младше» на множестве некоторой группы людей. Для соблюдения всех тонкостей скажем, что их даты рождения различны. Это отношение транзитивно (если ''человек A'' не младше ''человека B'', а ''человек B'' не младше ''человека C'', то ''человек A'' не младше ''человека C''), антисимметрично (если ''человек A'' не младше ''человека B'' и ''человек B'' не младше ''человека A'', то это один и тот же человек) и рефлексивно (каждый человек не младше самого себя). Из этого следует, что данное отношение является отношением частичного линейного порядка.
2) <tex>\forall a, b \in X:</tex> если <tex>\frac{a}{b} \leqslant 1</tex> и <tex>\frac{b}{a} \leqslant 1</tex>, то <tex> a = b </tex>
 
 
 
3) <tex>\forall a, b, c \in X:</tex> если <tex>\frac{a}{b} \leqslant 1</tex> и <tex>\frac{b}{c} \leqslant 1</tex>, то <tex>\frac{a}{c} \leqslant 1</tex>
 
 
 
4) <tex>\forall a \in X \forall b \in X либо \frac{a}{b} \leqslant 1, либо \frac{b}{a} \leqslant 1</tex>
 
  
5) <tex>\forall Y \in X \exists a \in Y \forall b \in Y: \frac{a}{b} \leqslant 1</tex> {{---}} очевидно, в любом подмножестве натуральных чисел есть наименьшее.
+
* Отношение «является делителем» на множестве целых чисел не является отношением частичного порядка. Это легко видеть на следующем примере: <tex> 2 </tex> делится на <tex> -2 </tex>, а <tex> -2 </tex> делится на <tex> 2 </tex>.  Однако <tex> 2 \neq -2</tex>.
 +
* Отношение «больше или равно по модулю» на множестве комплексных чисел не является отношением порядка. Из равенства модулей не следует равенство самих чисел, тем самым нарушается антисимметричность. Это демонстрирует данный пример: модули комплексных чисел <tex> 3 + 4i </tex> и <tex> 4 + 3i </tex> равны, но сами числа разные.
  
Таким образом данное отношение является отношением полного порядка.
+
==См. также==
 +
* [[Бинарное_отношение|Бинарное отношение]]
 +
* [[Композиция_отношений|Композиция отношений]]
 +
* [[Отношение_эквивалентности|Отношение эквивалентности]]
  
== Ссылки ==
+
== Источники информации ==
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE Wikipedia: Частично упорядоченные множества]
+
* Новиков Ф. А. {{---}} Дискретная математика для программистов: Учебник для вузов. 3-е изд. {{---}} СПБ.: Питер, 2009 {{---}} 50 с.
 +
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Total_order Wikipedia {{---}} Total order]
 +
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0 Википедия {{---}} Отношение порядка]
 +
* [http://ru.math.wikia.com/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0 Wikia {{---}} Отношение порядка]
  
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Отношения]]
 
[[Категория: Отношения]]

Текущая версия на 19:41, 4 сентября 2022

Определения

Определение:
Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется отношением частичного порядка (англ. partial order relation), если оно обладает следующими свойствами:

Множество [math]X[/math], на котором введено отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным.

Отношение частичного порядка также называют нестрогим порядком (англ. non-strict order).

Определение:
Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется строгим отношением частичного порядка (англ. strict order relation), если оно обладает следующими свойствами:


Определение:
Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется отношением линейного порядка (англ. total order relation), если оно является отношением частичного порядка и обладает следующим свойством: [math]\forall a \in X \forall b \in X[/math] либо [math]aRb[/math], либо [math]bRa[/math].

Множество [math]X[/math], на котором введено отношение линейного порядка, называется линейно упорядоченным (англ. total order).

Определение:
Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется отношением полного порядка (англ. well-order relation), если оно является отношением линейного порядка и обладает следующим свойством: [math]\forall Y \subset X \exists a \in Y \forall b \in Y: aRb[/math].

Множество [math]X[/math], на котором введено отношение полного порядка, называется полностью упорядоченным (англ. well-order).

Отношение нестрогого порядка обозначают символом [math]\leqslant[/math]. Запись вида [math]a \leqslant b[/math] читают как «[math]a[/math] меньше либо равно [math]b[/math]».

Отношение строгого порядка обозначают символом [math]\lt [/math]. Запись вида [math]a \lt b[/math] читают как «[math]a[/math] меньше [math]b[/math]».

Примеры

  • На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка, а «больше или равно» и «меньше или равно» — нестрогого, причем линейного порядка, но не полного.
  • Отношение «является делителем» на множестве натуральных чисел является отношением частичного порядка.
  • Отношение «меньше или равно» является отношением полного порядка на множестве натуральных чисел.
  • Отношение «лексикографически не меньше» на множестве всех возможных слов, составленных из букв русского алфавита, является отношением полного порядка.
  • Отношение «состоит в подчинении» на множестве работников компании является отношением нестрогого порядка.
  • Можно рассмотреть отношение «не младше» на множестве некоторой группы людей. Для соблюдения всех тонкостей скажем, что их даты рождения различны. Это отношение транзитивно (если человек A не младше человека B, а человек B не младше человека C, то человек A не младше человека C), антисимметрично (если человек A не младше человека B и человек B не младше человека A, то это один и тот же человек) и рефлексивно (каждый человек не младше самого себя). Из этого следует, что данное отношение является отношением частичного линейного порядка.
  • Отношение «является делителем» на множестве целых чисел не является отношением частичного порядка. Это легко видеть на следующем примере: [math] 2 [/math] делится на [math] -2 [/math], а [math] -2 [/math] делится на [math] 2 [/math]. Однако [math] 2 \neq -2[/math].
  • Отношение «больше или равно по модулю» на множестве комплексных чисел не является отношением порядка. Из равенства модулей не следует равенство самих чисел, тем самым нарушается антисимметричность. Это демонстрирует данный пример: модули комплексных чисел [math] 3 + 4i [/math] и [math] 4 + 3i [/math] равны, но сами числа разные.

См. также

Источники информации