Изменения

[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''отношением частичного порядка'''(англ. ''partial order relation''), если оно обладает следующими свойствами:* [[Рефлексивное отношение|Рефлексивность]](англ. ''reflexivity''): <tex>\forall a \in X: aRa</tex>.* [[Симметричное Антисимметричное отношение|Антисимметричность]](англ. ''antisymmetry''): <tex>\forall a, b \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRa</tex>, то <tex> a = b </tex>.* [[Транзитивное отношение|Транзитивность]](англ. ''transitivity''): <tex>\forall a, b, c \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRc</tex>, то <tex>aRc</tex>.

Отношение частичного порядка также называют '''нестрогим порядком'''(англ. ''non-strict order'').

[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''строгим отношением частичного порядка'''(англ. ''strict order relation''), если оно обладает следующими свойствами:* [[Рефлексивное отношение|Антирефлексивность]](англ. ''irreflexivity''): <tex>\forall a \in X: aRa </tex> — не выполняется.* [[Симметричное Антисимметричное отношение|Антисимметричность]](англ. ''antisymmetry''): <tex>\forall a, b \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>aRxbRa</tex>, то <tex> a = b </tex>.* [[Транзитивное отношение|Транзитивность]]: (англ. ''transitivity'') <tex>\forall a, b, c \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRc</tex>, то <tex>aRc</tex>.

[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''отношением линейного порядка'''(англ. ''total order relation''), если оно является отношением частичного порядка и обладает следующим свойством: <tex>\forall a \in X \forall b \in X </tex> либо <tex>aRb</tex>, либо <tex>bRa</tex>.

Множество <tex>X</tex>, на котором введено отношение линейного порядка, называется '''линейно упорядоченным'''(англ. ''total order'').

[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''отношением полного порядка'''(англ. ''well-order relation''), если оно является отношением линейного порядка и обладает следующим свойством: <tex>\forall Y \in subset X \exists a \in Y \forall b \in Y: aRb</tex>.

Множество <tex>X</tex>, на котором введено отношение полного порядка, называется '''полностью упорядоченным'''(англ. ''well-order'').

Отношение нестрогого порядка обозначают символом <tex>\leqslant</tex>. Запись вида <tex>a \leqslant b</tex> читают как "«<tex>a</tex> меньше либо равно <tex>b</tex>"». Отношение строгого порядка обозначают символом <tex><</tex>. Запись вида <tex>a < b</tex> читают как «<tex>a</tex> меньше <tex>b</tex>».

* Отношение "являться делителем" «является делителем» на множестве целых натуральных чисел является отношением частичного порядка.* <tex>a</tex> находится в отношении с <tex>b</tex>Отношение «меньше или равно» является отношением полного порядка на множестве натуральных чисел.* Отношение «лексикографически не меньше» на множестве всех возможных слов, составленных из букв русского алфавита, если <tex>a \leqslant b</tex>является отношением полного порядка. В качестве множества возьмём натуральные числа* Отношение «состоит в подчинении» на множестве работников компании является отношением нестрогого порядка. Проверим свойства:  1) <tex> \forall a \in X:a \leqslant a</tex>  2) <tex>\forall a* Можно рассмотреть отношение «не младше» на множестве некоторой группы людей. Для соблюдения всех тонкостей скажем, b \in X:</tex> что их даты рождения различны. Это отношение транзитивно (если <tex>a \leqslant b</tex> и <tex>b \leqslant a</tex>''человек A'' не младше ''человека B'', а ''человек B'' не младше ''человека C'', то <tex> a = b </tex> 3''человек A'' не младше ''человека C'') <tex>\forall a, b, c \in X:</tex> антисимметрично (если <tex>a \leqslant b</tex> ''человек A'' не младше ''человека B'' и <tex>b \leqslant c</tex>''человек B'' не младше ''человека A'', то <tex>a \leqslant c</tex> 4это один и тот же человек) и рефлексивно (каждый человек не младше самого себя) <tex>\forall a \in X \forall b \in X либо a \leqslant b. Из этого следует, либо b \leqslant a</tex>что данное отношение является отношением частичного линейного порядка.

5) * Отношение «является делителем» на множестве целых чисел не является отношением частичного порядка. Это легко видеть на следующем примере: <tex>\forall Y \in X \exists a \in Y \forall b \in Y: a \leqslant b2 </tex> {{делится на <tex> -2 </tex>, а <tex> -2 </tex> делится на <tex> 2 </tex>. Однако <tex> 2 \neq -}} очевидно2</tex>.* Отношение «больше или равно по модулю» на множестве комплексных чисел не является отношением порядка. Из равенства модулей не следует равенство самих чисел, в любом подмножестве натуральных тем самым нарушается антисимметричность. Это демонстрирует данный пример: модули комплексных чисел есть наименьшее<tex> 3 + 4i </tex> и <tex> 4 + 3i </tex> равны, но сами числа разные.

Таким образом данное ==См. также==* [[Бинарное_отношение|Бинарное отношение является отношением полного порядка.]]* [[Композиция_отношений|Композиция отношений]]* [[Отношение_эквивалентности|Отношение эквивалентности]]

== Ссылки Источники информации ==* Новиков Ф. А. {{---}} Дискретная математика для программистов: Учебник для вузов. 3-е изд. {{---}} СПБ.: Питер, 2009 {{---}} 50 с.* [https://en.wikipedia.org/wiki/Total_order Wikipedia {{---}} Total order]* [httphttps://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A79E%D1%82%D0%B0BD%D1D0%81BE%D1%8288%D0%B8%D1%87B5%D0%BD%D0%BE_B8%D1D0%83B5_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BEBA%D1D0%87B0 Википедия {{---}} Отношение порядка]* [http://ru.math.wikia.com/wiki/%D0%B59E%D0D1%BD82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5_B5%D0%BCBD%D0%BDB8%D0%BEB5_%D0%B6BF%D0%B5BE%D1%8180%D1%828F%D0%B4%D0%B2BA%D0%BE Wikipedia: Частично упорядоченные множестваB0 Wikia {{---}} Отношение порядка]