1632
правки
Изменения
м
* В то же время отношение «является делителем» на множестве целых чисел не является отношением частичного порядка. Это легко видеть на следующем примере: <tex> 2 </tex> делится на <tex> -2 </tex>, а <tex> -2 </tex> делится на <tex> 2 </tex>. Однако <tex> 2 \neq -2</tex>.
rollbackEdits.php mass rollback
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''отношением частичного порядка''' (англ. ''partial order relation''), если оно обладает следующими свойствами:
* [[Рефлексивное отношение|Рефлексивность]] (англ. ''reflexivity''): <tex>\forall a \in X: aRa</tex>.
* [[Симметричное Антисимметричное отношение|Антисимметричность]] (англ. ''antisymmetry''): <tex>\forall a, b \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRa</tex>, то <tex> a = b </tex>.
* [[Транзитивное отношение|Транзитивность]] (англ. ''transitivity''): <tex>\forall a, b, c \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRc</tex>, то <tex>aRc</tex>.
}}
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''строгим отношением частичного порядка''' (англ. ''strict order relation''), если оно обладает следующими свойствами:
* [[Рефлексивное отношение|Антирефлексивность]] (англ. ''irreflexivity''): <tex>\forall a \in X: aRa </tex> — не выполняется.
* [[Симметричное Антисимметричное отношение|Антисимметричность]] (англ. ''antisymmetry''): <tex>\forall a, b \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRa</tex>, то <tex> a = b </tex>.
* [[Транзитивное отношение|Транзитивность]]: (англ. ''transitivity'') <tex>\forall a, b, c \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRc</tex>, то <tex>aRc</tex>.
}}
|definition =
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''отношением полного порядка''' (англ. ''well-order relation''), если оно является отношением линейного порядка и обладает следующим свойством:
<tex>\forall Y \in subset X \exists a \in Y \forall b \in Y: aRb</tex>.
}}
Множество <tex>X</tex>, на котором введено отношение полного порядка, называется '''полностью упорядоченным''' (англ. ''well-order'').
== Примеры ==
* На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка, а «больше или равно» и «меньше или равно» — нестрогого, причем линейного порядка, но не полного.
* Отношение «является делителем» на множестве натуральных чисел является отношением частичного порядка.
* Отношение «меньше или равно» является отношением полного порядка на множестве натуральных чисел.
* Отношение «лексекографически «лексикографически не меньше» на множестве всех возможных слов, составленных из букв русского алфавита, является отношением полного порядка.
* Отношение «состоит в подчинении» на множестве работников компании является отношением нестрогого порядка.
* Можно рассмотреть отношение «не младше» на множестве некоторой группы людей. Для соблюдения всех тонкостей скажем, что их дни даты рождения различны. Это отношение транзитивно (если ''человек A'' не младше ''человека B'', а ''человек B'' не младше ''человека C'', то ''человек A'' не младше ''человека C''), антисимметрично (если ''человек A'' не младше ''человека B'' и ''человек B'' не младше ''человека A'', то это один и тот же человек) и рефлексивно (каждый человек не младше самого себя). Из этого следует, что данное отношение является отношением частичного линейного порядка. * Отношение «является делителем» на множестве целых чисел не является отношением частичного порядка. Это легко видеть на следующем примере: <tex> 2 </tex> делится на <tex> -2 </tex>, а <tex> -2 </tex> делится на <tex> 2 </tex>. Однако <tex> 2 \neq -2</tex>.* Отношение «больше или равно по модулю» на множестве комплексных чисел не является отношением порядка. Из равенства модулей не следует равенство самих чисел, тем самым нарушается антисимметричность. Это демонстрирует данный пример: модули комплексных чисел <tex> 3 + 4i </tex> и <tex> 4 + 3i </tex> равны, но сами числа разные.
==См. также==
