Отношение порядка

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Определения

Определение:
Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется отношением частичного порядка (англ. order relation), если оно обладает следующими свойствами:

Множество [math]X[/math], на котором введено отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным.

Отношение частичного порядка также называют нестрогим порядком (англ. non-strict order).

Определение:
Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется строгим отношением частичного порядка (англ. strict order relation), если оно обладает следующими свойствами:


Определение:
Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется отношением линейного порядка, если оно является отношением частичного порядка и обладает следующим свойством: [math]\forall a \in X \forall b \in X[/math] либо [math]aRb[/math], либо [math]bRa[/math].

Множество [math]X[/math], на котором введено отношение линейного порядка, называется линейно упорядоченным (англ. total order).

Определение:
Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется отношением полного порядка, если оно является отношением линейного порядка и обладает следующим свойством: [math]\forall Y \in X \exists a \in Y \forall b \in Y: aRb[/math].

Множество [math]X[/math], на котором введено отношение полного порядка, называется полностью упорядоченным (англ. well-order).

Отношение нестрогого порядка обозначают символом [math]\leqslant[/math]. Запись вида [math]a \leqslant b[/math] читают как «[math]a[/math] меньше либо равно [math]b[/math]».

Отношение строгого порядка обозначают символом [math]\lt [/math]. Запись вида [math]a \lt b[/math] читают как «[math]a[/math] меньше [math]b[/math]».

Примеры

  • На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка, а «больше или равно» и «меньше или равно» — нестрогого, причем линейного порядка, но не полного.
  • Отношение «являться делителем» на множестве целых чисел является отношением частичного порядка.
  • Отношение «меньше или равно» является отношением полного порядка на множестве натуральных чисел.

Ссылки