1632
правки
Изменения
м
Пусть <math>R</math> - отношение реберной двусвязности.
'''Рефлексивность:''' <math>(u, u)\in R. </math> (Очевидно)
'''Коммутативность:''' <math>(u, v)\in R \Rightarrow (v, u)\in R. </math> (Очевидно)
Получим два реберно непересекающихся пути <math>R_1 = (u \rightsquigarrow x_1) \or (x_1 \rightsquigarrow w) </math> и <math>R_2 = (u \rightsquigarrow x_2) \or (x_2 \rightsquigarrow w). </math>
Действительно, <math> (u \rightsquigarrow x_1) \and (u \rightsquigarrow x_2) = u</math>(реберная двусвязность <math>u</math> и <math>v</math>). <math> (x_1 \rightsquigarrow w) \and (x_2 \rightsquigarrow w) = w</math>(реберная двусвязность <math>v</math> и <math>w</math>)
Если <math>(u \rightsquigarrow x_1) \and (x_2 \rightsquigarrow w)= </math> {какой-то путь} или <math>(u \rightsquigarrow x_2) \and (x_1 \rightsquigarrow w)= </math> {какой-то путь}, то тогда вершины <math>v</math> и <math> w</math> не связаны отношением реберной двусвязности.
rollbackEdits.php mass rollback
== Реберная Рёберная двусвязность ==
{{Определение
|definition =
Две вершины <mathtex>Uu</mathtex> и <mathtex> Vv</mathtex> [[Основные определения теории графов|графа ]] <mathtex>G</mathtex> называются '''реберно рёберно двусвязными''' ''(англ. edge biconnected)'', если между этими вершинами существуют два реберно рёберно непересекающихся пути.
}}
{{Теорема
|statement=
Отношение реберной рёберной двусвязности является отношением эквивалентности на вершинах.
|proof=
Пусть <tex>R</tex> {{---}} отношение рёберной двусвязности.[[Файл: Edge_biconnected.png|right|300px|thumb|К доказательству транзитивности.]] '''Рефлексивность:''' <tex>(u, u)\in R. </tex> (Очевидно) '''Симметричность:''' <tex>(u, v)\in R \Rightarrow (v, u)\in R. </tex> (Очевидно) '''Транзитивность:''' <mathtex>(u, v)\in R </mathtex> и <mathtex>(v, w)\in R \Rightarrow (u, w)\in R. </mathtex> ''Доказательство:'' Пусть из <mathtex> w </tex> в <tex> v </tex> есть два рёберно непересекающихся пути, <tex>P_1,</tex> и <tex> P_2 = </tex> соответственно. Обозначим за <tex> C </tex> объединение двух рёберно непересекающихся путей из <tex> u \rightsquigarrow </tex> в <tex> v</mathtex> и . <mathtex>Q_1,Q_2 = v \rightsquigarrow wC </mathtex> будет рёберно- реберно непересекащиеся путипростым циклом.Выберем Пусть вершины <mathtex>x_1a</mathtex> и <mathtex>b</tex> {{---}} первые со стороны <tex>x_2w</mathtex> так, что вершины на пересечении <mathtex>P_1 \and Q_1 = (v \rightsquigarrow x_1),</mathtex> и <mathtex>P_2 \and Q_2 = (v \rightsquigarrow x_2)</mathtex> с <tex> C </tex> соответственно.Рассмотрим два пути <tex> wau </tex> и <tex> wbu </tex>, такие, что части <tex> au </tex> и <mathtex> bu </tex> идут в разные стороны по циклу <tex> C </tex>(v \rightsquigarrow x_1) \and (v \rightsquigarrow x_2) = v.Наличие двух таких рёберно непересекающихся путей очевидно, а значит <tex> u </mathtex>и <tex> w </tex> рёберно двусвязны.
}}
== Компоненты рёберной двусвязности ==
{{Определение
|definition =
'''Компонентами рёберной двусвязности''' ''(англ. costal doubly-linked components)'' графа называют его подграфы, множества вершин которых - классы эквивалентности рёберной двусвязности, а множества рёбер - множества ребер из соответствующих классов эквивалентности.
}}
== См. также ==
*[[Отношение вершинной двусвязности]]
== Источники информации ==
* Харари Фрэнк '''Теория графов''' = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 60 с. — ISBN 5-354-00301-6
*[http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-general/biconnected-components-2005 Визуализатор - компоненты двусвязности]
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Связность в графах]]
