1632
правки
Изменения
м
Пусть <math>R</math> - отношение реберной двусвязности.
'''Рефлексивность:''' <math>(u, u)\in R. </math> (Очевидно)
'''Коммутативность:''' Пусть <mathtex>(u, v)\in R \Rightarrow (v, u)\in R. </mathtex> (Очевидно){{---}} отношение рёберной двусвязности.[[Файл: Edge_biconnected.png|right|300px|thumb|К доказательству транзитивности.]]
Выберем вершины '''Транзитивность:''' <mathtex>x_1(u, v)\in R </mathtex> и <mathtex>x_2(v, w)\in R \Rightarrow (u, w)\in R. </mathtex> ''Доказательство:''Пусть из <tex> такw </tex> в <tex> v </tex> есть два рёберно непересекающихся пути, что <mathtex>P_1 \and Q_1 = (</tex> и <tex> P_2 </tex> соответственно. Обозначим за <tex> C </tex> объединение двух рёберно непересекающихся путей из <tex> u </tex> в <tex> v \rightsquigarrow x_1),</mathtex>. <tex> C </tex> будет рёберно-простым циклом. Пусть вершины <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} первые со стороны <tex>w</tex> вершины на пересечении <tex> P_1 </tex> и <mathtex>P_2 \and Q_2 = (v \rightsquigarrow x_2)</mathtex> с <tex> C </tex> соответственно.Рассмотрим два пути <tex> wau </tex> и <tex> wbu </tex>, такие, что части <tex> au </tex> и <mathtex> bu </tex> идут в разные стороны по циклу <tex> C </tex>(v \rightsquigarrow x_1) \and (v \rightsquigarrow x_2) = v.Наличие двух таких рёберно непересекающихся путей очевидно, а значит <tex> u </mathtex>и <tex> w </tex> рёберно двусвязны.
Получим два реберно не пересекающихся пути <math>R_1 = (u \rightsquigarrow x_1) \or (x_1 \rightsquigarrow w) </math> и <math>R_2 = (u \rightsquigarrow x_2) \or (x_2 \rightsquigarrow w). </math>
Действительно, <math> (u \rightsquigarrow x_1) \and (u \rightsquigarrow x_2) = u</math>(реберная двусвязность <math>u</math> и <math>v</math>). <math> (x_1 \rightsquigarrow w) \and (x_2 \rightsquigarrow w) = w</math>(реберная двусвязность <math>v</math> и <math>w</math>)
Если <math>(u \rightsquigarrow x_1) \and (x_2 \rightsquigarrow w)= </math> {какой-то путь} или <math>(u \rightsquigarrow x_2) \and (x_1 \rightsquigarrow w)= </math> {какой-то путь}, то тогда вершины <math>v</math> и <math> w</math> не связаны отношением реберной двусвязности.
rollbackEdits.php mass rollback
== Реберная Рёберная двусвязность ==
{{Определение
|definition =
Две вершины <mathtex>Uu</mathtex> и <mathtex> Vv</mathtex> [[Основные определения теории графов|графа ]] <mathtex>G</mathtex> называются '''реберно рёберно двусвязными''' ''(англ. edge biconnected)'', если между этими вершинами существуют два реберно не пересекающихся рёберно непересекающихся пути.
}}
{{Теорема
|statement=
Отношение реберной рёберной двусвязности является отношением эквивалентности на вершинах.
|proof=
'''ТранзитивностьРефлексивность:''' <mathtex>(u, vu)\in R . </mathtex> и <math>(v, w)\in R \Rightarrow (u, wОчевидно)\in R. </math>
''Доказательство'Симметричность:'' Пусть ' <mathtex>P_1(u,P_2 = u v)\in R \rightsquigarrow Rightarrow (v</math>(реберно не пересекающиеся пути, u) и <math>Q_1,Q_2 = v \rightsquigarrow win R. </mathtex> (реберно не пересекающиеся путиОчевидно).
}}
== Компоненты реберной рёберной двусвязности ==
{{Определение
|definition =
'''Компонентами реберной рёберной двусвязности ''' ''(англ. costal doubly-linked components)'' графа, называют его подграфы, множества вершин которых - классы эквивалентности реберной рёберной двусвязности, а множества ребер рёбер - множества ребер из соответствующих классов эквивалентности.
}}
== См. также ==
*[[Отношение вершинной двусвязности]] == Источники информации ==* Харари Фрэнк '''Теория графов''' = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 60 с. — ISBN 5-354-00301-6*[http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-general/biconnected-components-2005 Визуализатор - компоненты двусвязности] [[Категория:Алгоритмы и структуры данных]][[Категория:Связность в графах]]
