Отношение рёберной двусвязности

Реберная двусвязность

Определение:

Две вершины [math]U[/math] и [math] V[/math] графа [math]G[/math] называются реберно двусвязными, если между этими вершинами существуют два реберно непересекающихся пути.

Теорема:

Отношение реберной двусвязности является отношением эквивалентности на вершинах.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]R[/math] - отношение реберной двусвязности. Рефлексивность: [math](u, u)\in R. [/math] (Очевидно) Коммутативность: [math](u, v)\in R \Rightarrow (v, u)\in R. [/math] (Очевидно) Транзитивность: [math](u, v)\in R [/math] и [math](v, w)\in R \Rightarrow (u, w)\in R. [/math] Доказательство: Пусть [math]P_1,P_2 : u \rightsquigarrow v [/math] (реберно не пересекающиеся пути) и [math]Q_1,Q_2 : v \rightsquigarrow w [/math] (реберно не пересекающиеся пути). Составим пути [math]S_1 = P_1 o Q_1 [/math] и [math]S_2 = P_2 o Q_2 [/math]. Сделаем пути [math]S_1, S_2 [/math] простыми (пройти по пути, удаляя все повторяющиеся вершины). Получим два реберно не пересекающихся пути [math]S_1, S_2 [/math]. Действительно, [math]S_1 \land S_2 = \varnothing[/math], так как [math]P_1 \land P_2 = \varnothing [/math] (реберная двусвязность [math]u[/math] и [math]v[/math]), [math]Q_1 \land Q_2 = \varnothing [/math] (реберная двусвязность [math]w[/math] и [math]v[/math]). [math]P_1 \land Q_2 = [/math] {какой-то путь} или [math]P_2 \land Q_1 = [/math] {какой-то путь} не влияют на реберную двусвязность. Если [math]S_1 \land S_2 \neq \varnothing [/math], тогда возьмем [math]S_1 = P_1 o Q_2 [/math], а [math]S_2 = P_2 o Q_1 [/math], сделаем их простыми. Утверждение доказано.

[math]\triangleleft[/math]

Компоненты реберной двусвязности

Определение:

Компонентами реберной двусвязности графа, называют его подграфы, множества вершин которых - классы эквивалентности реберной двусвязности, а множества ребер - множества ребер из соответствующих классов эквивалентности.

См. также

Отношение вершинной двусвязности