Отношение связности, компоненты связности

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Случай неориентированного графа

Связность

Определение:
Компоненты связности неориентированного графа [math]G=(V, E)[/math] — такие множества [math]C_i[/math] что [math]C_i \subset V[/math] и между любыми вершинами из одного множества существует путь, а между любыми вершинами из разных множеств не существует пути
Теорема:
Для неориентированного графа [math]G=(V, E)[/math] cемейство множеств [math]C_i[/math] удовлетворяющих определению единственно и образует разбиение множества [math]V[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Докажем что отношение существования пути, заданное на множестве вершин графа, разбивает множество [math]V[/math] на классы эквивалентности
Рефлексивность: [math]\forall a \in V a \rightsquigarrow a[/math] (Очевидно)
Коммутативность: [math]a\rightsquigarrow b \Rightarrow b\rightsquigarrow a[/math] (В силу неориентированности графа)

Транзитивность: [math]a\rightsquigarrow b \and b\rightsquigarrow c \Rightarrow a\rightsquigarrow c[/math] (Очевидно)
[math]\triangleleft[/math]
Определение:
Граф [math]G=(V, E)[/math] называется связным если он состоит из одной компоненты связности. В противном случае граф называется несвязным


Случай ориентрованного графа

В общем случае для ориентированного графа существование пути — нетранзитивное отношение, поэтому вместо понятия связность различают понятие слабой и сильной связности

Слабая связность

Определение:
Пусть [math]G = (V, E)[/math] — ориентированный граф. Рассмотрим граф [math]G' = (V, E')[/math], составленный из вершин графа [math]G[/math], в котором ребро [math](x, y)[/math] существует тогда и только тогда когда [math](x, y) \in E \or (y, x) \in E[/math] Скажем что между вершинами [math]v \in G[/math] и [math]u \in G[/math] существет неориентированный путь если [math]v[/math] и [math]u[/math] связаны путем в [math]G'[/math]


Определение:
Пусть [math]G = (V, E)[/math] — ориентированный граф. Компонента слабой связности - класс эквивалентности вершин графа [math]C_i[/math], на которые разбивает множество [math]V[/math] отношение существования неориентированного пути


Определение:
Ориентированный граф [math]G = (V, E)[/math] называется слабо связным если он состоит из одной компоненты слабой связности


Сильная связность

Пусть [math]G=(V, E) [/math] — ориентированный граф. Введем отношение на вершинах графа: [math]R(v, u) = v \rightsquigarrow u \and u \rightsquigarrow v[/math]. Очевидно, [math]R[/math] рефлексивно, коммутативно, транзитивно.

Определение:
Пусть [math]G = (V, E)[/math] — ориентированный граф. Компонента сильной связности - класс эквивалентности вершин графа [math]C_i[/math], на которые разбивает множество [math]V[/math] отношение существования пути между вершинами в обе стороны


Определение:
Ориентированный граф [math]G = (V, E)[/math] называется сильно связным если он состоит из одной компоненты сильной связности