Редактирование: Отношение эквивалентности

{{Определение
|definition =
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''отношением эквивалентности''' (англ. ''equivalence binary relation''), если оно обладает следующими свойствами:
* [[Рефлексивное отношение|Рефлексивность]]: <tex>\forall x \in X: xRx</tex>.
* [[Симметричное отношение|Симметричность]]: <tex>\forall x, y \in X:</tex> если <tex>xRy</tex>, то <tex>yRx</tex>.
* [[Транзитивное отношение|Транзитивность]]: <tex>\forall x, y, z \in X:</tex> если <tex>xRy</tex> и <tex>yRz</tex>, то <tex>xRz</tex>.
}}
Отношение эквивалентности обозначают символом <tex>\thicksim</tex>. Запись вида <tex>a \thicksim b</tex> читают как "<tex>a</tex> эквивалентно <tex>b</tex>" 

== Примеры отношений эквивалентности ==
* Отношение ''равенства''(<tex>=</tex>) является тривиальным примером отношения эквивалентности на любом множестве.
* Отношение ''равенства по модулю <tex>k</tex>'': <tex>a \equiv b \mod k </tex> на множестве целых чисел.
* Отношение ''параллельности'' прямых на плоскости.
* Отношение ''подобия'' фигур на плоскости.
* Отношение ''равносильности'' на множестве уравнений.
* Отношение ''связности'' вершин в графе.
* Отношение ''быть одного роста'' на множестве людей.
Следующие отношения не являются отношениями эквивалентности:
* [[Отношение порядка|Отношения порядка]], так как они не являются симметричными.
* Отношение ''быть знакомым'' на множестве людей, так как оно не транзитивное.

== Классы эквивалентности ==
{{Определение
|definition =
Система непустых подмножеств <tex>\{M_1, M_2, ..., M_n, ...\}</tex> множества <tex>M</tex> называется '''разбиением''' (англ. ''partition'') данного множества, если:
* <tex>M = M_1 \cup M_2 \cup ... \cup M_n \cup ...</tex>
* <tex>M_i \cap M_j = \varnothing</tex> при <tex>i \neq j</tex>.
Множества <tex>M_1, M_2, ..., M_n, ...</tex> называются '''классами''' данного разбиения.
}}
Примерами разбиений являются:
* Разбиение многоугольников на группы по числу вершин.
* Разбиение треугольников по свойствам углов (остроугольные, прямоугольные, тупоугольные).
* Разбиение учащихся школы по классам.

{{Теорема
|statement =
Если на множестве M задано отношение эквивалентности <tex>\thicksim</tex>, то оно порождает разбиение этого множества на '''классы эквивалентности''' такое, что:
* любые два элемента одного класса находятся в отношении <tex>\thicksim</tex>
* любые два элемента разных классов не находятся в отношении <tex>\thicksim</tex>
}}
Семейство всех классов эквивалентности множества образует множество, называемое ''фактор-множеством'', или ''факторизацией'' множества <tex>M</tex> по отношению <tex>\thicksim</tex>, и обозначаемое <tex>M/^{\thicksim}</tex>.

== Примеры ==

* ''Равенство'' - классический пример отношения эквивалентности на любом множестве, в т. ч. [[Вещественные числа|вещественных чисел]]
* Равенство по ''модулю:'' <tex> a \equiv b~(mod ~ m) </tex>
* В ''Евклидовой геометрии:''
** отношение подобия<tex> ("\thicksim ") </tex>
** отношение параллельности<tex>\colon ~ ("\parallel ") </tex>
** отношение конгруэнтности<tex>\colon ~ ("\cong ") </tex>
* Разбиение многоугольников по количеству вершин
* Отношение ''равносильности'' на множестве уравнений
* Отношение [[Мощность множества|равномощности]] множеств
* Отношение ''принадлежать к одному виду'' на множестве животных
* Отношение ''жить в одном городе'' на множестве людей

== См. также ==
* [[Определение_отношения|Определение отношения]]
* [[Рефлексивное_отношение|Рефлексивное отношение]]
* [[Симметричное_отношение|Симметричное отношение]]
* [[Транзитивное_отношение|Транзитивное отношение]]
* [[Отношение_порядка|Отношение порядка]]

== Источники информации ==
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Отношение_эквивалентности Wikipedia | Отношение эквивалентности]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_relation Wikipedia | Equivalence relation]
* [http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-3-html/1.htm Бинарные отношения. Отношение эквивалентности]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Отношения]]