Изменения
→Примеры
{{Определение
|definition =
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''отношением эквивалентности'''(англ. ''equivalence binary relation''), если оно обладает следующими свойствами:
* [[Рефлексивное отношение|Рефлексивность]]: <tex>\forall x \in X: xRx</tex>.
* [[Симметричное отношение|Симметричность]]: <tex>\forall x, y \in X:</tex> если <tex>xRy</tex>, то <tex>yRx</tex>.
== Примеры отношений эквивалентности ==
* Отношение ''равенства''(<tex>=</tex>) является тривиальным примером отношения эквивалентности на любом множестве.
* Отношение ''равенства по модулю <tex>k</tex>'': <tex>a \equiv b (\mod~k)</tex>на множестве целых чисел.
* Отношение ''параллельности'' прямых на плоскости.
* Отношение ''подобия'' фигур на плоскости.
* Отношение ''быть одного роста'' на множестве людей.
Следующие отношения не являются отношениями эквивалентности:
* [[Отношение порядка|Отношения порядка]], т.к. так как они не являются симметричными.* Отношение ''быть знакомым'' на множестве людей, т.к. так как оно не транзитивное.
== Классы эквивалентности ==
{{Определение
|definition =
Система непустых подмножеств <tex>\{M_1, M_2, ...\ldots, M_n, \ldots\}</tex> множества <tex>M</tex> называется '''разбиением''' (англ. ''partition'') данного множества, если:* <tex>M = M_1 \cup M_2 \cup ... \ldots \cup M_n\cup \ldots</tex>.
* <tex>M_i \cap M_j = \varnothing</tex> при <tex>i \neq j</tex>.
Множества <tex>M_1, M_2, ...\ldots, M_n, \ldots</tex> называются '''классами''' данного разбиения.
}}
Примерами разбиений являются:
Если на множестве M задано отношение эквивалентности <tex>\thicksim</tex>, то оно порождает разбиение этого множества на '''классы эквивалентности''' такое, что:
* любые два элемента одного класса находятся в отношении <tex>\thicksim</tex>
* любые два элементы элемента разных классов не находятся в отношении <tex>\thicksim</tex>
}}
Семейство всех классов эквивалентности множества образует множество, называемое ''фактор-множеством'', или ''факторизацией'' множества <tex>M</tex> по отношению <tex>\thicksim</tex>, и обозначаемое <tex>M/^{\thicksim}</tex>.
== Ссылки Примеры == * ''Равенство'' - классический пример отношения эквивалентности на любом множестве, в т. ч. [[Вещественные числа|вещественных чисел]]* Равенство по ''модулю:'' <tex> a \equiv b~(mod ~ m) </tex>* В ''Евклидовой геометрии:''** отношение подобия<tex> ("\thicksim ") </tex>** отношение параллельности<tex>\colon ~ ("\parallel ") </tex>** отношение конгруэнтности<tex>\colon ~ ("\cong ") </tex>* Разбиение многоугольников по количеству вершин* Отношение ''равносильности'' на множестве уравнений* Отношение [[Мощность множества|равномощности]] множеств* Отношение ''принадлежать к одному виду'' на множестве животных* Отношение ''жить в одном городе'' на множестве людей == См. также ==* [[Определение_отношения|Определение отношения]]* [[Рефлексивное_отношение|Рефлексивное отношение]]* [[Симметричное_отношение|Симметричное отношение]]* [[Транзитивное_отношение|Транзитивное отношение]]* [[Отношение_порядка|Отношение порядка]] == Источники информации ==
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Отношение_эквивалентности Wikipedia | Отношение эквивалентности]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_relation Wikipedia | Equivalence relation]
* [http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-3-html/1.htm Бинарные отношения. Отношение эквивалентности]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Отношения]]
