Отображения — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 20 промежуточных версий 6 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
 
Лекция от 13 сентября 2010 года.
 
Лекция от 13 сентября 2010 года.
  
{{Определение
+
== Определение ==
|definition =
+
 
Закон f, посредством которого каждому <tex>a \in A</tex> , сопоставляется единственный <tex>b \in B</tex>, называют отображением.
+
{{Определение | definition =
 +
Закон (правило) f, посредством которого каждому <tex>a \in A</tex> сопоставляется единственный <tex>b \in B</tex>, называют '''отображением'''.
 +
Обычно это записывают так: <tex> b = f(a) </tex>.
 
}}
 
}}
  
 
Формы записи:
 
Формы записи:
*f : A &rarr; B
 
*b = f(a)
 
  
 +
<tex> f: A \rightarrow B </tex> {{---}} отображение из <tex>A</tex> в <tex>B</tex>.
 +
 +
{{Определение | definition =
 
Если A и B состоят из чисел, f называется функцией.
 
Если A и B состоят из чисел, f называется функцией.
 +
}}
  
 +
Отображение состоит из трех объектов: множества A(откуда), множества B(куда) и правила f(как).
  
 +
== Связанные понятия ==
  
 
Пусть:
 
Пусть:
Строка 18: Строка 25:
 
: <tex> C \subset A </tex>
 
: <tex> C \subset A </tex>
 
: <tex> g : C \rightarrow B </tex>
 
: <tex> g : C \rightarrow B </tex>
Тогда, <tex> \forall c \in C : g(c) = f(c) </tex>, и g - сужение f на C
+
: <tex> \forall c \in C : g(c) = f(c) </tex>
 +
 
 +
Тогда, g {{---}} ''сужение'' f на C, <tex> g = f \big|_C </tex>
 +
 
 +
<tex> A = D(f) </tex> {{---}} ''область определения'' f
 +
 
 +
<tex> R(f) = \{ b | b = f(a), a \in A \} </tex> {{---}} ''область значений'' f
 +
 
 +
<tex> C \subset A ; f(C) = \{f(a)| a \in C \} </tex> {{---}} ''образ'' множества C при отображении f
 +
 
 +
<tex> D \subset B ; f^{-1}(D) = \{ a| a \in A, f(a) \in D \} </tex> {{---}} ''прообраз'' множества D при отображении f
 +
 
 +
{{Определение | definition =
 +
Отображение <tex>f^{-1}: B \rightarrow A</tex> называется обратным отображением для f.
 +
}}
  
Пусть задана функция f : A &rarr; B
+
<tex> f(f^{-1}(a)) = a; \\
'''Здесь будет образ и прообраз'''
+
f^{-1}(f(b)) = b;
 +
</tex>
  
 +
Термины "прямое" и "обратное" отображения взаимны.
  
 +
== Свойства отображений ==
  
Инъективное отображение - переводит разные элементы A в разные элементы B:
+
'''Инъективное''' отображение переводит разные элементы A в разные элементы B:
: <tex> \forall a_1, a_2 \in A : f(a_1) \ne f(a_2) </tex>
+
: <tex> \forall a_1, a_2 \in A: a_1\ne a_2 \Rightarrow f(a_1) \ne f(a_2) </tex>
  
Сюръективное отображение(на множестве B) - каждый элемент множества B является образом хотя бы одного элемента множества A:
+
'''Сюръективное''' отображение(на множестве B) каждый элемент множества B является образом хотя бы одного элемента множества A:
: <tex> \forall b \in B \exists a : b = f(a) </tex>
+
: <tex> \forall b \in B: \exists a : b = f(a) </tex>
  
Биективное отображение - инъекция + сюръекция - взаимно однозначное соответствие, обладает двумя предыдущими свойствами.
+
'''Биективное''' отображение инъекция + сюръекция взаимно однозначное соответствие, обладает двумя предыдущими свойствами.
  
==Смотрите также==
+
== См. также ==
 
*[[Множества]]
 
*[[Множества]]

Текущая версия на 19:39, 4 сентября 2022

Лекция от 13 сентября 2010 года.

Определение

Определение:
Закон (правило) f, посредством которого каждому [math]a \in A[/math] сопоставляется единственный [math]b \in B[/math], называют отображением. Обычно это записывают так: [math] b = f(a) [/math].


Формы записи:

[math] f: A \rightarrow B [/math] — отображение из [math]A[/math] в [math]B[/math].


Определение:
Если A и B состоят из чисел, f называется функцией.


Отображение состоит из трех объектов: множества A(откуда), множества B(куда) и правила f(как).

Связанные понятия

Пусть:

[math] f : A \rightarrow B [/math]
[math] C \subset A [/math]
[math] g : C \rightarrow B [/math]
[math] \forall c \in C : g(c) = f(c) [/math]

Тогда, g — сужение f на C, [math] g = f \big|_C [/math]

[math] A = D(f) [/math]область определения f

[math] R(f) = \{ b | b = f(a), a \in A \} [/math]область значений f

[math] C \subset A ; f(C) = \{f(a)| a \in C \} [/math]образ множества C при отображении f

[math] D \subset B ; f^{-1}(D) = \{ a| a \in A, f(a) \in D \} [/math]прообраз множества D при отображении f


Определение:
Отображение [math]f^{-1}: B \rightarrow A[/math] называется обратным отображением для f.


[math] f(f^{-1}(a)) = a; \\ f^{-1}(f(b)) = b; [/math]

Термины "прямое" и "обратное" отображения взаимны.

Свойства отображений

Инъективное отображение — переводит разные элементы A в разные элементы B:

[math] \forall a_1, a_2 \in A: a_1\ne a_2 \Rightarrow f(a_1) \ne f(a_2) [/math]

Сюръективное отображение(на множестве B) — каждый элемент множества B является образом хотя бы одного элемента множества A:

[math] \forall b \in B: \exists a : b = f(a) [/math]

Биективное отображение — инъекция + сюръекция — взаимно однозначное соответствие, обладает двумя предыдущими свойствами.

См. также