Изменения

== Постановка задачи ==<tex>x = (x_1[[Эволюционные алгоритмы многокритериальной оптимизации, x_2, ..., x_d; x_i \ge 0) \in R^d</tex> - точка в <tex>d</tex>-мерном пространствеоснованные на индикаторах.Гиперобъем#Индикатор Гиперобъема| Определение гиперобъема]]

Точка <tex>x</tex> доминирует точку <tex>y</tex> (<tex>x \succ y</tex>), если <tex>\forall i : x_i \ge y_i, \exists j : x_j > y_j</tex>. <tex>X = (x^1, x^2, ..., x^n) \subset R^d</tex> - множество из <tex>n</tex> точек в <tex>d</tex>-мерном пространстве таких, что <tex>\nexists i \neq j : x_i \succ x_j</tex> - никакая точка не доминируется другой точкой из этого множества. <tex>S(X) = \mu (\bigcup \limits_{x \in X} \{y | y \succ x\}) </tex> - гиперобъем множества <tex>X</tex>. В частности, если <tex>X = \{x\}</tex>, то <tex>S(X) = \prod \limits_{i=1}^{d} x_i</tex>. Утверждается, что точное вычисление значения гиперобъема <tex>S(X)</tex> множества из <tex>n</tex> точек <tex>d</tex>-мерного пространства является [http://en.wikipedia.org/wiki/Sharp-P #P-трудной задачей], однако допускает эффективную аппроксимацию, а именно может быть аппроксимировано за*полином от количество количества параметров,

|definition=задача Задача #MON-CNF -- (Satisfability problem for monotone boolean formulas) — задача вычисления количества удовлетворяющих подстановок для монотонной булевой формулы, записанной в [[КНФ ]] <tex>f = \bigwedge \limits _{k=1}^n \bigvee_{i \in C_k} x_i</tex>,где клозы все дизъюнкты <tex> C_k \subseteq {1,...,d}</tex>

{{Теорема|statement= Задача вычисления гиперобъема принадлежит классу #P-трудных задач|proof= Суть доказательства состоит в сведении задачи #MON-CNF является #P-труднойСведем ее к задаче вычисления значения гиперобъема.Так как доказано<ref>Задача Roth D. On the hardness of approximate reasoning, Artif. Intell., 82: 273–302, 1996, http://cogcomp.cs.illinois.edu/papers/hardJ.pdf</ref>, что #MON-CNF состоит в нахождении количества удовлетворяющих подстановок дляявляется #P-трудной, то это докажет теорему.

 Количество ее удовлетворяющих подстановок равно меньше <tex>2^d</tex> минус на количество удовлетворяющих подстановок ее отрицания 

поэтому далее будем работать с <tex>\overline{f}</tex>.Для каждого клоза конъюнкта <tex>\bigwedge_{i \in C_k} \neg x_i</tex> построим гиперкуб соответствующий ему гиперпараллелепипед<tex>A_k = [0,a^k_1]\times...\times[0,a^k_d]</tex>

</tex>.

напримерРассмотрим теперь <tex>A = \bigcup \limits _{k=1}^n A_k</tex>. Заметим, гиперкубу что так как все вершины гиперпараллелепипедов <tex>A_i</tex> лежат в точках с целочисленными координатами 0,1 или 2, то и <tex>A</tex> можно разбить на гиперкубы вида <tex>B_{x_1,...,x_d} = [x_1,x_1 + 1]\times ... \times [x_d, x_d + 1]</tex>, где <tex>x_i \in \{0,1\}, i \in [d]</tex> (то есть на гиперкубы со сторонами 1 с координатами ближайшей к началу координат вершины 0 или 1).

Более того, из-за целочисленности вершин <tex>C_1 = \{x\}A_i</tex> будет соответствовать клоз , каждый из этих гиперкубов лежит в хотя бы одном из <tex>\neg x_1A_i</tex>

а <tex>C_2 = B_{x_1,...,x_d} \subset \bigcup \limits _{k = 1,2\}</tex> клоз <tex>^n A_k \neg iff B_{x_1 ,...,x_d} \wedge subset A_k \neg x_2iff</tex>.

Заметим, что объединение гиперкубов А значит из определения <tex>A_kA_i</tex> может быть записано как объединение гиперкубов вида <tex>B_{x_1,...,x_d} = [x_1,x_1 + 1]\times ... \times [x_d, x_d + 1]</tex>, где <tex>x_i \in \{0,1\}, i \in [d]</tex>.

<tex> B_{\iff \forall i : x_i = 1 \to a^k_i = 2 \iff \forall i : x_i = 1 \to i \notin C_k \iff (x_1,...,x_d} ) </tex> удовлетворяет <tex>\subset bigwedge_{i \bigcup in C_k} \limits _{neg x_i</tex> для некоторого <tex>k = 1}^n A_k \iff B_{(x_1,...,x_d)</tex> удовлетворяет <tex>\overline{f} \subset A_k \iff \exists a^k_i \geq x_i + 1 : i \in d \iff</tex>

Заметим, что так как <tex>\iff \forall i : x_i mu (B_{x_1,...,x_d}) = 1 \to a^k_i = 2 \iff mu (\bigcup \forall i : x_i limits _{k= 1 }^n A_k ) = |\to i {(x_1,...,x_d) \in \notin C_k {0,1\iff }^d| (x_1,...,x_d) </tex> удовлетворяет <tex>\bigwedge_overline{i f} \in C_k} |</tex> Таким образом произвели сведение, в значит задача вычисления гиперобъема принадлежит классу #P}} ==Эффективная аппроксимация нахождения значения гиперобъема==Приведем псевдокод алгоритма для аппроксимации гиперобъема объединения тел. В алгоритме, приведенном в <ref>Bringmann K., Friedrich T. Approximating the volume of unions and intersections of high-dimensional geometric objects, ISAAC'2008, http://www.mpi-inf.mpg.de/~kbringma/paper/2008ISAAC_Volume.pdf</ref>используются три оракула: <tt>PointQuery</tt>, <tt>VolumeQuery</tt> и <tt>SampleQuery</tt>, каждый из которых ошибается с вероятностью <tex>\epsilon_p, \neg x_iepsilon_v</tex> для некоторого и <tex>k \iff epsilon_s</tex> соответственно. Оракул*<tt>PointQuery(x_1x,B)</tt> возвращает true,если точка <tex>x</tex> лежит внутри <tex> B</tex>.*<tt>VolumeQuery(B)</tt> возвращает объем заданного тела <tex>B</tex>.*<tt>SampleQuery(B)</tt> для заданного тела <tex>B</tex> возвращает произвольную его точку <tex>x \in B</tex>.  Для данного алгоритма допускаются следующие ослабления этих оракулов:*<tt>PointQuery(x,x_dB)</tt> возвращает true для всех точек из некоторого тела <tex> B' : \mu ((B' \backslash B) \cup (B \backslash B'))\leq \epsilon_p \mu(B)</tex>*<tt>VolumeQuery(B)</tt> возвращает значение <tex>V' : (1-\epsilon_v)\mu(B) \leq V' \leq (1+\epsilon_v)\mu(B)</tex>*<tt>SampleQuery(B)</tt> возвращает произвольную точку из тела <tex>B' : |f(x) - 1/\mu(B')| < \epsilon_s </tex> M := 0; C := 0; <tex> \overline \epsilon := \frac{\epsilon - \epsilon_v}{1+ \epsilon_v} </tex> <tex> \overline C := \frac{(1+\epsilon_s)(1+\epsilon_v)(1+\epsilon_p)}{(1-\epsilon_v)(1-\epsilon_p)}</tex> удовлетворяет <tex>T := \frac{24 ln (2) (1 + \overline\epsilon) n}{\overline \epsilon^2 - 8 (\overline C - 1) n}</tex> for all <tex>B_i \in S</tex> do compute <tex>V'_i</tex> := VolumeQuery(<tex>B_i</tex>) od <tex> V' := \sum\limits_{i = 1}^n V'_i</tex> while <tex>C \leq T</tex> do choose <tex>i \in [n] </tex> with probability <tex>\frac{V'_i}{V'}</tex> x := SampleQuery(<tex>B_i</tex>) repeat if (C > T) then return <tex>\frac {fTV'}{nM} </tex> choose random <tex>j \in [n]</tex> uniformly C := C + 1 until PointQuery (x, <tex>B_j</tex>) M := M + 1 od return <tex>\frac{TV'}{nM}</tex> Время работы алгоритма составляет  <tex>O(n V(d)+M S(d)+ TP(d)) = O(n V(d) + T(S(d)+P(d)) )</tex>, где <tex>V(d)</tex>, <tex>S(d)</tex> и <tex>P(d)</tex> это оценка времени работы оракулов <tt>VolumeQuery</tt>, <tt>SampleQuery</tt> и <tt>PointQuery</tt>, соответственно. Выберем <tex>\epsilon : \epsilon_s, \epsilon_p, \epsilon_v \leq \frac{\epsilon^2}{47n}</tex>.

ЗаметимЕсли все используемые тела являются гиперпараллелепипедами, что так как то время работы каждого из оракулов составляет в точности <tex>\mu O(B_{x_1,...,x_d}d) = 1 \to \mu (\bigcup \limits _{k=1}^n) A_k = |\{(x_1</tex>,...,x_d) таким образом алгоритм позволяет построить <tex>\in epsilon</tex>-аппроксимацию гиперобъема с вероятностью <tex>\{0,1\}^d| (x_1,...,x_d)geq 3/4</tex> удовлетворяет за время <tex>O(\overlinefrac{fnd}{\epsilon^2})</tex>.