Оценка сложности вычисления гиперобъема — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Эффективная аппроксимация нахождения значения гиперобъема)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 8 промежуточных версий 2 участников)
Строка 8: Строка 8:
 
== #P-трудность задачи вычисления гиперобъема ==
 
== #P-трудность задачи вычисления гиперобъема ==
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=Задача #MON-CNF (Satisfability problem for monotone boolean formulas) — задача вычисления количества удовлетворяющих подстановок для монотонной булевой формулы, записанной в [[КНФ]] <tex>f = \bigwedge  \limits _{k=1}^n \bigvee_{i \in C_k} x_i</tex>
+
|definition=Задача #MON-CNF (Satisfability problem for monotone boolean formulas) — задача вычисления количества удовлетворяющих подстановок для монотонной булевой формулы, записанной в [[КНФ]] <tex>f = \bigwedge  \limits _{k=1}^n \bigvee_{i \in C_k} x_i</tex>,
 
где все дизъюнкты <tex> C_k \subseteq {1,...,d}</tex>
 
где все дизъюнкты <tex> C_k \subseteq {1,...,d}</tex>
 
}}
 
}}
Строка 16: Строка 16:
 
|proof= Суть доказательства состоит в сведении задачи #MON-CNF к задаче вычисления значения гиперобъема. Так как доказано
 
|proof= Суть доказательства состоит в сведении задачи #MON-CNF к задаче вычисления значения гиперобъема. Так как доказано
 
<ref>
 
<ref>
  D. Roth. On the hardness of approximate reasoning. Artif. Intell., 82: 273–302, 1996, http://cogcomp.cs.illinois.edu/papers/hardJ.pdf
+
  Roth D. On the hardness of approximate reasoning, Artif. Intell., 82: 273–302, 1996, http://cogcomp.cs.illinois.edu/papers/hardJ.pdf
 
</ref>
 
</ref>
 
, что #MON-CNF является #P-трудной, то это докажет теорему.
 
, что #MON-CNF является #P-трудной, то это докажет теорему.
Строка 26: Строка 26:
 
. Для упрощения вычислений далее будем работать с <tex>\overline{f}</tex>.
 
. Для упрощения вычислений далее будем работать с <tex>\overline{f}</tex>.
  
Для каждого конъюнкта <tex>\bigwedge_{i \in C_k} \neg x_i</tex> построим соответствующий ему гиперкуб
+
Для каждого конъюнкта <tex>\bigwedge_{i \in C_k} \neg x_i</tex> построим соответствующий ему гиперпараллелепипед
 
<tex>A_k = [0,a^k_1]\times...\times[0,a^k_d]</tex>
 
<tex>A_k = [0,a^k_1]\times...\times[0,a^k_d]</tex>
  
Строка 38: Строка 38:
 
</tex>.
 
</tex>.
  
Рассмотрим теперь <tex>A = \bigcup \limits _{k=1}^n A_k</tex>. Заметим, что так как все вершины гиперкубов <tex>A_i</tex> лежат в точках с целочисленными координатами 0,1 или 2, то и <tex>A</tex> можно разбить на гиперкубы вида <tex>B_{x_1,...,x_d} = [x_1,x_1 + 1]\times ... \times [x_d, x_d + 1]</tex>, где <tex>x_i \in \{0,1\}, i \in [d]</tex> (то есть на гиперкубики со сторонами 1 с координатами ближайшей к началу координат вершины 0 или 1).
+
Рассмотрим теперь <tex>A = \bigcup \limits _{k=1}^n A_k</tex>. Заметим, что так как все вершины гиперпараллелепипедов <tex>A_i</tex> лежат в точках с целочисленными координатами 0,1 или 2, то и <tex>A</tex> можно разбить на гиперкубы вида <tex>B_{x_1,...,x_d} = [x_1,x_1 + 1]\times ... \times [x_d, x_d + 1]</tex>, где <tex>x_i \in \{0,1\}, i \in [d]</tex> (то есть на гиперкубы со сторонами 1 с координатами ближайшей к началу координат вершины 0 или 1).
  
Более того, из-за целочисленности вершин <tex>A_i</tex>, каждый из этих гиперкубиков лежит в хотя бы одном из <tex>A_i</tex>
+
Более того, из-за целочисленности вершин <tex>A_i</tex>, каждый из этих гиперкубов лежит в хотя бы одном из <tex>A_i</tex>
  
 
<tex> B_{x_1,...,x_d} \subset \bigcup \limits _{k = 1}^n A_k \iff B_{x_1,...,x_d} \subset A_k \iff</tex>
 
<tex> B_{x_1,...,x_d} \subset \bigcup \limits _{k = 1}^n A_k \iff B_{x_1,...,x_d} \subset A_k \iff</tex>
Строка 50: Строка 50:
 
<tex>\iff \forall i :  x_i = 1 \to  a^k_i = 2  \iff \forall i : x_i = 1 \to i \notin C_k  \iff (x_1,...,x_d) </tex> удовлетворяет <tex>\bigwedge_{i \in C_k} \neg x_i</tex> для некоторого <tex>k \iff (x_1,...,x_d)</tex> удовлетворяет <tex>\overline{f}</tex>
 
<tex>\iff \forall i :  x_i = 1 \to  a^k_i = 2  \iff \forall i : x_i = 1 \to i \notin C_k  \iff (x_1,...,x_d) </tex> удовлетворяет <tex>\bigwedge_{i \in C_k} \neg x_i</tex> для некоторого <tex>k \iff (x_1,...,x_d)</tex> удовлетворяет <tex>\overline{f}</tex>
  
Заметим, что так как <tex>\mu (B_{x_1,...,x_d}) = 1 \to \mu (\bigcup \limits _{k=1}^n) A_k = |\{(x_1,...,x_d) \in \{0,1\}^d| (x_1,...,x_d)</tex> удовлетворяет <tex>\overline{f} \}|</tex>
+
Заметим, что так как <tex>\mu (B_{x_1,...,x_d}) = 1 \to \mu (\bigcup \limits _{k=1}^n A_k )  = |\{(x_1,...,x_d) \in \{0,1\}^d| (x_1,...,x_d)</tex> удовлетворяет <tex>\overline{f} \}|</tex>
  
 
Таким образом произвели сведение, в значит задача вычисления гиперобъема принадлежит классу #P
 
Таким образом произвели сведение, в значит задача вычисления гиперобъема принадлежит классу #P
Строка 58: Строка 58:
 
Приведем псевдокод алгоритма для аппроксимации гиперобъема объединения тел. В алгоритме, приведенном в  
 
Приведем псевдокод алгоритма для аппроксимации гиперобъема объединения тел. В алгоритме, приведенном в  
 
<ref>
 
<ref>
Karl Bringmann, Tobias Friedrich, Approximating the volume of unions and intersections of high-dimensional geometric objects, ISAAC'2008, http://www.mpi-inf.mpg.de/~kbringma/paper/2008ISAAC_Volume.pdf
+
Bringmann K., Friedrich T. Approximating the volume of unions and intersections of high-dimensional geometric objects, ISAAC'2008, http://www.mpi-inf.mpg.de/~kbringma/paper/2008ISAAC_Volume.pdf
 
</ref>
 
</ref>
используются три оракула: PointQuery, VolumeQuery и SampleQuery, каждый из которых ошибается с вероятностью <tex>\epsilon_p, \epsilon_v</tex> и <tex>\epsilon_s</tex> соответственно.
+
используются три оракула: <tt>PointQuery</tt>, <tt>VolumeQuery</tt> и <tt>SampleQuery</tt>, каждый из которых ошибается с вероятностью <tex>\epsilon_p, \epsilon_v</tex> и <tex>\epsilon_s</tex> соответственно.
  
 
Оракул
 
Оракул
*PointQuery(x,B) возвращает true, если точка <tex>x</tex> лежит внутри <tex> B</tex>.
+
*<tt>PointQuery(x,B)</tt> возвращает true, если точка <tex>x</tex> лежит внутри <tex> B</tex>.
*VolumeQuery(B) возвращает объем заданного тела <tex>B</tex>.
+
*<tt>VolumeQuery(B)</tt> возвращает объем заданного тела <tex>B</tex>.
*SampleQuery(B) для заданного тела <tex>B</tex> возвращает произвольную его точку <tex>x \in B</tex>.
+
*<tt>SampleQuery(B)</tt> для заданного тела <tex>B</tex> возвращает произвольную его точку <tex>x \in B</tex>.
  
  
 
Для данного алгоритма допускаются следующие ослабления этих оракулов:
 
Для данного алгоритма допускаются следующие ослабления этих оракулов:
*PointQuery (x,B) возвращает true для всех точек из некоторого тела <tex> B' : \mu ((B' \backslash B) \cup (B \backslash B'))\leq \epsilon_p \mu(B)</tex>
+
*<tt>PointQuery(x,B)</tt> возвращает true для всех точек из некоторого тела <tex> B' : \mu ((B' \backslash B) \cup (B \backslash B'))\leq \epsilon_p \mu(B)</tex>
*VolumeQuery(B) возвращает значение <tex>V' : (1-\epsilon_v)\mu(B) \leq V' \leq (1+\epsilon_v)\mu(B)</tex>
+
*<tt>VolumeQuery(B)</tt> возвращает значение <tex>V' : (1-\epsilon_v)\mu(B) \leq V' \leq (1+\epsilon_v)\mu(B)</tex>
*SampleQuery(B) возвращает произвольную точку из тела <tex>B' : |f(x) - 1/\mu(B')| < \epsilon_s </tex>
+
*<tt>SampleQuery(B)</tt> возвращает произвольную точку из тела <tex>B' : |f(x) - 1/\mu(B')| < \epsilon_s </tex>
 
  M := 0; C := 0;
 
  M := 0; C := 0;
 
  <tex> \overline \epsilon := \frac{\epsilon - \epsilon_v}{1+ \epsilon_v} </tex>
 
  <tex> \overline \epsilon := \frac{\epsilon - \epsilon_v}{1+ \epsilon_v} </tex>
 
  <tex> \overline C := \frac{(1+\epsilon_s)(1+\epsilon_v)(1+\epsilon_p)}{(1-\epsilon_v)(1-\epsilon_p)}</tex>
 
  <tex> \overline C := \frac{(1+\epsilon_s)(1+\epsilon_v)(1+\epsilon_p)}{(1-\epsilon_v)(1-\epsilon_p)}</tex>
 
  <tex> T := \frac{24 ln (2) (1 + \overline \epsilon) n}{\overline \epsilon^2 - 8 (\overline C - 1) n}</tex>
 
  <tex> T := \frac{24 ln (2) (1 + \overline \epsilon) n}{\overline \epsilon^2 - 8 (\overline C - 1) n}</tex>
  for all <tex>B_i \in S</tex>
+
  for all <tex>B_i \in S</tex> do
 
   compute <tex>V'_i</tex> := VolumeQuery(<tex>B_i</tex>)
 
   compute <tex>V'_i</tex> := VolumeQuery(<tex>B_i</tex>)
 
  od
 
  od
Строка 94: Строка 94:
 
Время работы алгоритма составляет  
 
Время работы алгоритма составляет  
  
<tex>O(n V(d)+M S(d)+ TP(d) = O(n V(d) + T(S(d)+P(d)))</tex>,
+
<tex>O(n V(d)+M S(d)+ TP(d)) = O(n V(d) + T(S(d)+P(d)) )</tex>,
  
где V(d), S(d) и P(d) это оценка времени работы оракулов VolumeQuery, SampleQuery и PointQuery, соответственно.
+
где <tex>V(d)</tex>, <tex>S(d)</tex> и <tex>P(d)</tex> это оценка времени работы оракулов <tt>VolumeQuery</tt>, <tt>SampleQuery</tt> и <tt>PointQuery</tt>, соответственно.
  
 
Выберем <tex>\epsilon : \epsilon_s, \epsilon_p, \epsilon_v \leq \frac{\epsilon^2}{47n}</tex>.
 
Выберем <tex>\epsilon : \epsilon_s, \epsilon_p, \epsilon_v \leq \frac{\epsilon^2}{47n}</tex>.
  
Если все используемые тела являются гиперкубами, то время работы каждого из оракулов составляет в точности <tex>O(d)</tex>, таким образом алгоритм позволяет построить <tex>\epsilon</tex>-аппроксимацию гиперобъема с вероятностью <tex>\geq 3/4</tex> за время <tex>O(\frac{nd}{\epsilon^2})</tex>
+
Если все используемые тела являются гиперпараллелепипедами, то время работы каждого из оракулов составляет в точности <tex>O(d)</tex>, таким образом алгоритм позволяет построить <tex>\epsilon</tex>-аппроксимацию гиперобъема с вероятностью <tex>\geq 3/4</tex> за время <tex>O(\frac{nd}{\epsilon^2})</tex>.
  
== Примечания ==
+
==Источники==
 
<references />
 
<references />

Текущая версия на 19:37, 4 сентября 2022

Определение гиперобъема

Утверждается, что точное вычисление значения гиперобъема множества из [math]n[/math] точек [math]d[/math]-мерного пространства является #P-трудной задачей, однако допускает эффективную аппроксимацию, а именно может быть аппроксимировано за

  • полином от количества параметров,
  • полином от количества решений,
  • полином от качества аппроксимации.

#P-трудность задачи вычисления гиперобъема

Определение:
Задача #MON-CNF (Satisfability problem for monotone boolean formulas) — задача вычисления количества удовлетворяющих подстановок для монотонной булевой формулы, записанной в КНФ [math]f = \bigwedge \limits _{k=1}^n \bigvee_{i \in C_k} x_i[/math], где все дизъюнкты [math] C_k \subseteq {1,...,d}[/math]


Теорема:
Задача вычисления гиперобъема принадлежит классу #P-трудных задач
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Суть доказательства состоит в сведении задачи #MON-CNF к задаче вычисления значения гиперобъема. Так как доказано [1] , что #MON-CNF является #P-трудной, то это докажет теорему.

Количество удовлетворяющих подстановок функции [math]f = \bigwedge \limits _{k=1}^n \bigvee_{i \in C_k} x_i[/math] меньше [math]2^d[/math] на количество удовлетворяющих подстановок ее отрицания [math] \overline{f} = \bigvee \limits _{k=1}^n \bigwedge_{i \in C_k} \neg x_i[/math] . Для упрощения вычислений далее будем работать с [math]\overline{f}[/math].

Для каждого конъюнкта [math]\bigwedge_{i \in C_k} \neg x_i[/math] построим соответствующий ему гиперпараллелепипед [math]A_k = [0,a^k_1]\times...\times[0,a^k_d][/math]

где

[math] a^k_i = \begin{cases} 1 & \text{if } i \in C_k \\ 2 & \text{otherwise} \end{cases} [/math].

Рассмотрим теперь [math]A = \bigcup \limits _{k=1}^n A_k[/math]. Заметим, что так как все вершины гиперпараллелепипедов [math]A_i[/math] лежат в точках с целочисленными координатами 0,1 или 2, то и [math]A[/math] можно разбить на гиперкубы вида [math]B_{x_1,...,x_d} = [x_1,x_1 + 1]\times ... \times [x_d, x_d + 1][/math], где [math]x_i \in \{0,1\}, i \in [d][/math] (то есть на гиперкубы со сторонами 1 с координатами ближайшей к началу координат вершины 0 или 1).

Более того, из-за целочисленности вершин [math]A_i[/math], каждый из этих гиперкубов лежит в хотя бы одном из [math]A_i[/math]

[math] B_{x_1,...,x_d} \subset \bigcup \limits _{k = 1}^n A_k \iff B_{x_1,...,x_d} \subset A_k \iff[/math]

А значит из определения [math]A_i[/math]

[math] \iff\exists a^k_i \geq x_i + 1 : i \in d \iff[/math]

[math]\iff \forall i : x_i = 1 \to a^k_i = 2 \iff \forall i : x_i = 1 \to i \notin C_k \iff (x_1,...,x_d) [/math] удовлетворяет [math]\bigwedge_{i \in C_k} \neg x_i[/math] для некоторого [math]k \iff (x_1,...,x_d)[/math] удовлетворяет [math]\overline{f}[/math]

Заметим, что так как [math]\mu (B_{x_1,...,x_d}) = 1 \to \mu (\bigcup \limits _{k=1}^n A_k ) = |\{(x_1,...,x_d) \in \{0,1\}^d| (x_1,...,x_d)[/math] удовлетворяет [math]\overline{f} \}|[/math]

Таким образом произвели сведение, в значит задача вычисления гиперобъема принадлежит классу #P
[math]\triangleleft[/math]

Эффективная аппроксимация нахождения значения гиперобъема

Приведем псевдокод алгоритма для аппроксимации гиперобъема объединения тел. В алгоритме, приведенном в [2] используются три оракула: PointQuery, VolumeQuery и SampleQuery, каждый из которых ошибается с вероятностью [math]\epsilon_p, \epsilon_v[/math] и [math]\epsilon_s[/math] соответственно.

Оракул

  • PointQuery(x,B) возвращает true, если точка [math]x[/math] лежит внутри [math] B[/math].
  • VolumeQuery(B) возвращает объем заданного тела [math]B[/math].
  • SampleQuery(B) для заданного тела [math]B[/math] возвращает произвольную его точку [math]x \in B[/math].


Для данного алгоритма допускаются следующие ослабления этих оракулов:

  • PointQuery(x,B) возвращает true для всех точек из некоторого тела [math] B' : \mu ((B' \backslash B) \cup (B \backslash B'))\leq \epsilon_p \mu(B)[/math]
  • VolumeQuery(B) возвращает значение [math]V' : (1-\epsilon_v)\mu(B) \leq V' \leq (1+\epsilon_v)\mu(B)[/math]
  • SampleQuery(B) возвращает произвольную точку из тела [math]B' : |f(x) - 1/\mu(B')| \lt \epsilon_s [/math]
M := 0; C := 0;
[math] \overline \epsilon := \frac{\epsilon - \epsilon_v}{1+ \epsilon_v} [/math]
[math] \overline C := \frac{(1+\epsilon_s)(1+\epsilon_v)(1+\epsilon_p)}{(1-\epsilon_v)(1-\epsilon_p)}[/math]
[math] T := \frac{24 ln (2) (1 + \overline \epsilon) n}{\overline \epsilon^2 - 8 (\overline C - 1) n}[/math]
for all [math]B_i \in S[/math] do
 compute [math]V'_i[/math] := VolumeQuery([math]B_i[/math])
od
[math] V' := \sum\limits_{i = 1}^n V'_i[/math]
while [math]C \leq T[/math] do
 choose [math]i \in [n] [/math] with probability [math]\frac{V'_i}{V'}[/math]
 x := SampleQuery([math]B_i[/math])
 repeat 
  if (C > T) then return [math]\frac {TV'}{nM} [/math]
  choose random [math]j \in [n][/math] uniformly
  C := C + 1
 until PointQuery (x, [math]B_j[/math])
 M := M + 1
od
return [math]\frac{TV'}{nM}[/math]

Время работы алгоритма составляет

[math]O(n V(d)+M S(d)+ TP(d)) = O(n V(d) + T(S(d)+P(d)) )[/math],

где [math]V(d)[/math], [math]S(d)[/math] и [math]P(d)[/math] это оценка времени работы оракулов VolumeQuery, SampleQuery и PointQuery, соответственно.

Выберем [math]\epsilon : \epsilon_s, \epsilon_p, \epsilon_v \leq \frac{\epsilon^2}{47n}[/math].

Если все используемые тела являются гиперпараллелепипедами, то время работы каждого из оракулов составляет в точности [math]O(d)[/math], таким образом алгоритм позволяет построить [math]\epsilon[/math]-аппроксимацию гиперобъема с вероятностью [math]\geq 3/4[/math] за время [math]O(\frac{nd}{\epsilon^2})[/math].

Источники

  1. Roth D. On the hardness of approximate reasoning, Artif. Intell., 82: 273–302, 1996, http://cogcomp.cs.illinois.edu/papers/hardJ.pdf
  2. Bringmann K., Friedrich T. Approximating the volume of unions and intersections of high-dimensional geometric objects, ISAAC'2008, http://www.mpi-inf.mpg.de/~kbringma/paper/2008ISAAC_Volume.pdf