Изменения

Во втором семестре у нас было определение [[Дифференцируемые_отображения_в_нормированных_пространствах|производной Фреше]]: <tex> \mathcal{T}(x+\Delta x) -\mathcal{T}(x) = \mathcal{T}'_x (x) \cdot \Delta x ) + o(\Delta x)</tex>. <tex> \mathcal{T}' _x </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор.

Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.

* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \le ge 0</tex>.

В силу определения производной Фреше существует <tex> \delta > 0: \| \Delta x \| < \delta \implies \| \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) - \mathcal{T}(\overline x) - \mathcal{T}'(\overline x) \cdot \Delta x \| < \varepsilon \| \Delta x \| </tex>.

Убедимся в том, что такая <tex> \delta </tex> подходит в качестве радуса радиуса шара из условия теоремы:

Складывая полученное: <tex> \varepsilon \| x_n - \overline x \| + q \| x_n - \overline x \| = \le (\frac {1-q}2 + q) \le delta = \frac {1+q}2 \delta < \delta </tex>.

Окончательно мы получили, что <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) \implies x_{n+1} \in V_\delta (\overline x) </tex>, то есть метод простых итераций определен корректно. Попутно мы также установили, что <tex> \| x_{n+1} - \overline x \| \le \frac {1+q}2 \| x_n - \overline x \| \le \hdots ldots \le (\frac {1+q}2)^{n+1} \| x_0 - \overline x \| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, то есть <tex> x_n \to \overline x </tex>.

<tex> \mathcal{T} (\overline x) = \mathcal{T}(x_0) + \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) + \hdots ldots </tex>. Обрежем последнюю часть: <tex> 0 = \mathcal{T}(x_0) + \mathcal{T}'(x_0) \cdot (x_0 - \overline x- x_0) </tex>.

Обозначим <tex> \mathcal{\Gamma}(x_0) = (\mathcal{T}'(x_0))^{-1} </tex>.

Домножим равенство с обеих сторон на <tex> \Gamma(x_0) </tex>: <tex> -\Gamma(x_0) \mathcal{T}(x_0) = \Gamma(x_0) \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) = \overline x - x_0 </tex>.

<tex> -\overline x Gamma(x_0) \mathcal{T}(x_0) = x_0 - \Gamma (x_0) \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) = \overline x - x_0 </tex>.

<tex> \overline x = x_0 - \Gamma(x_0) \mathcal{T}(x_0) </tex>. Теперь положим <tex> x_{n+1} = x_n - \Gamma(x_0x_n) \mathcal{T} (x_0x_n) </tex> и получим итерацию метода Ньютона-Канторовича для функции

<tex> \| \mathcal{F} (\overline x - + \Delta x) - \mathcal{F} (\overline x) \| </tex>

<tex> = \| \Delta x - \Delta x + \Gamma(\overline x + \Delta x)) \cdot o(\Delta x) \| </tex>.

Рассмотрим другую идею решения <tex> \mathcal{T} x =x </tex>. Оно основывается на том факте, что если функция <tex> f </tex> отображает отрезок <tex> [a, b] </tex> в себя, то существует такая точка <tex> c \in [a, b] : c =f(c) </tex>.  Обобщение этого факта для <tex> \mathbb{R}^n </tex> называется теоремой Брауэра:  {{Теорема|author=Брауэр|about=о неподвижной точке|statement=Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное выпуклое замкнутое подмножество <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> F </tex> непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя. Тогда <tex> \exists x^*: F(x^*) = x^* </tex>. }}  Как перенести этот факт в бесконечномерный случай? Ответ на это дает теорема Шаудера: {{Определение|definition= Пусть <tex> X </tex> {{---}} B-пространство, <tex> D \subset X </tex> {{---}} ограничено в <tex> X </tex>. <tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывное отображение <tex> D \mapsto X </tex>. Говорят, что <tex> \mathcal{T} </tex> ''вполне непрерывно'' на <tex> D </tex>, если <tex> \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} относительно компактно в <tex> X </tex>. }} {{Теорема Брауэра |author=Шаудер|about=о неподвижной точке|statement=Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя.  Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* =\mathcal{T}x^* </tex>.}}  Замечание: теорему Брауэра нельзя будет назвать частным случаем теоремы Шаудера, так как при доказательстве теоремы Шаудера мы сошлемся на теорему Брауэра. У теоремы Шаудера также очень частое практическое применение.