Изменения

Во втором семестре у нас было определение [[Дифференцируемые_отображения_в_нормированных_пространствах|производной Фреше]]: <tex> \mathcal{T}(x+\Delta x) -\mathcal{T}(x) = \mathcal{T}'_x (x) \cdot \Delta x ) + o(\Delta x)</tex>. <tex> \mathcal{T}' _x </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор.

Складывая полученное: <tex> \varepsilon \| x_n - \overline x \| + q \| x_n - \overline x \| = \le (\frac {1-q}2 + q) \le delta = \frac {1+q}2 \delta < \delta </tex>.

Окончательно мы получили, что <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) \implies x_{n+1} \in V_\delta (\overline x) </tex>, то есть метод простых итераций определен корректно. Попутно мы также установили, что <tex> \| x_{n+1} - \overline x \| \le \frac {1+q}2 \| x_n - \overline x \| \le \hdots ldots \le (\frac {1+q}2)^{n+1} \| x_0 - \overline x \| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, то есть <tex> x_n \to \overline x </tex>.

<tex> \mathcal{T} (\overline x) = \mathcal{T}(x_0) + \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) + \hdots ldots </tex>. Обрежем последнюю часть: <tex> 0 = \mathcal{T}(x_0) + \mathcal{T}'(x_0) \cdot (x_0 - \overline x- x_0) </tex>.

Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx\mathcal{T}x^* </tex>.

По предположению, <tex> \mathcal{T}_{n_0} </tex> {{---}} вполне непрерывный: существует конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть <tex> y_1, \hdotsldots, y_p </tex> для <tex> \mathcal{T}_{n_0}(D) </tex>.

Окончательно, <tex> \exists y_1, \hdotsldots, y_p : \forall y \in \mathcal{T}(D) \exists y_j: \| y - y_j \| < 2 \varepsilon </tex>. Значит, мы получили <tex> 2\varepsilon </tex>-сеть для <tex> \mathcal{T}(D) </tex>.

Тогда множество <tex> \mathcal{T}_1(D) \cup \mathcal{T}_2(D) \cup \hdots ldots \cup \mathcal{T}_n(D) \cup \hdots ldots \cup \mathcal{T}(D) </tex> относительно компактно.

Рассмотрим множество <tex> \mathcal{T}_1(D) \cup \mathcal{T}_2(D) \cup \hdots ldots \cup \mathcal{T}_{n_0}(D) </tex>. Оно относительно компактно как конечное объединение относительно компактных множеств.

<tex> \forall \varepsilon > 0 </tex> рассмотрим <tex> \varepsilon </tex>-сеть для этого множества: <tex> y_1, \hdotsldots, y_p </tex>.

Рассмотрим <tex> \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \mathcal{T}_n(D) \cup \mathcal{T}(D) </tex>. Проверим, что <tex> y_1, \hdotsldots, y_p </tex> {{---}} <tex> k \varepsilon </tex>-сеть для этого множества, где число <tex> k </tex> определим позже.

В итоге, получили, что <tex> y_1, \hdotsldots, y_p </tex> {{---}} <tex> 3\varepsilon </tex>-сеть для <tex> \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \mathcal{T}_n(D) \cup \mathcal{T}(D) </tex>.

<tex> \forall \varepsilon > 0 \; \exists y_1 \in M, \hdotsldots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.

Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdotsldots, p, \forall y \in M: </tex>

Легко проверить, что для любого <tex> j </tex> функция <tex> \mu_j </tex> непрерывна на <tex> M </tex>. В самом деле, вне интервала <tex> (y_j - \varepsilon;\,y_j + \varepsilon) </tex> функция <tex> \mu_j </tex> непрерывна как константа, внутри интервала она непрерывна в силу непрерывности нормы, а кроме того <tex> \lim\limits_{{TODOy \rightarrow y_j \pm \varepsilon} (\varepsilon - \| y - y_j \|t) = 0 =Легко? Так давайте сделаем это.}}\mu_j(y_j \pm \varepsilon) </tex>

<tex> P_\varepsilon(M) \subset \mathcal{L}(y_1, \hdotsldots, y_p) </tex>

Если <tex> M = \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} выпуклое множество, то <tex> P_\varepsilon(y) \in M </tex>, как выпуклая комбинация точек <tex> y_1, \hdotsldots, y_p </tex>.

Рассмотрим <tex> \| P_\varepsilon (\mathcal{T} x) - \mathcal{T} x \| = \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j (y) \cdot y_j - \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j (y) \cdot y \| = \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j (y) \cdot (y_j - y) \| </tex>.

Если <tex> \| y_j - y \| > \varepsilon </tex>, то <tex> \alpha_j(y) = 0 </tex>, поэтому, продолжая цепочку неравенств, <tex> \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j (y) \cdot (y_j - y) \| \le \varepsilon \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j (y) \le \varepsilon </tex>.

Каждый из операторов <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} </tex> конечномерен: <tex> \mathopoperatorname{dim} R(P_\varepsilon \mathcal{T}) < +\infty </tex>.

Определим последовательность <tex> \mathcal{T}_n = P_{\frac 1n} \mathcal{T} </tex>. <tex> \mathcal{T}_n : M_n M \to M_n </tex>, где <tex> M_n </tex> {{---}} конечномерное пространствоподмножество конечномерного пространства.  Применяя теорему БрауэраКаждое <tex> M_n </tex> является замкнутым выпуклым множеством, получаем, что поскольку является линейной оболочкой соответствующей <tex> \forall frac{1}{n: \exists x_n \in M_n: x_n = \mathcal{T}_n x_n = x_n </tex>-сети.

Применяя теорему Брауэра, получаем, что <tex> \forall n: \exists x_n \in M_n: x_n = \mathcal{T}_n x_n = x_n </tex>.Учитывая, что <tex> M_1 \cup M_2 \cup \hdots ldots </tex> относительно компактно, из <tex> \{ x_n \} </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность: <tex> \exists x_{n_k} \to x^* \in M </tex>.

That's all folks!{{TODO[[Файл:Thats_all_forks.jpg|t=сделать картиночку, как в Looney Tunes в конце серии, только с Додоновым вместо Porky Pig}}600px]]