Изменения
→Проекторы Шаудера
<tex> M </tex> {{---}} выпуклое ограниченное множество, оператор <tex> \mathcal{T} : M \to M </tex> является вполне ограниченным.
Определим последовательность <tex> \mathcal{T}_n = P_{\frac 1n} \mathcal{T} </tex>. <tex> \mathcal{T}_n : M \to M_n </tex>, где <tex> M_n </tex> {{---}} конечномерное пространствоподмножество конечномерного пространства. Применяя теорему Брауэра, получаем, что Каждое <tex> \forall n: \exists x_n \in M_n: x_n = \mathcal{T}_n x_n = x_n </tex>. {{TODO: почему является замкнутым выпуклым множеством, поскольку является линейной оболочкой соответствующей <tex>M_n\frac{1}{n}</tex> выпуклые?}}-сети.
Применяя теорему Брауэра, получаем, что <tex> \forall n: \exists x_n \in M_n: x_n = \mathcal{T}_n x_n = x_n </tex>.
Учитывая, что <tex> M_1 \cup M_2 \cup \ldots </tex> относительно компактно, из <tex> \{ x_n \} </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность: <tex> \exists x_{n_k} \to x^* \in M </tex>.
