Изменения

Иллюстрирует расхождение мат. математического ожидания выигрыша и его житейской оценки.

Согласно некоторым статистическим данным, игрок готов заплатить за участие в такой игре 10-20, редко 50 рублей, что нелогично с математической точки зрения, ведь мат. математическое ожидание выигрыша в такой ситуации равно бесконечности. Докажем это:Рассмотрим величину <texdpi="120"> E_{n} </tex> - мат. ожидание выигрыша с n-й попытки:

<texdpi="150"> E_{1} = 1 \cdot \frac{1}{2} = 0,5</tex>;

<texdpi="150"> E_{2} = 2 \cdot \frac{1}{4} = 0,5</tex>;

<texdpi="150"> E_{n} = \frac{2^{n-1}}{2^n} = 0,5</tex>;

Согласно линейности мат. математического ожидания, мат. ожидание выигрыша в этом случае равно <texdpi="120">E_{1}+E_{1}+... = 0,5+0,5+0,5 = \infty </tex><br>

Вероятность того, что в определённой игре количество бросков превысит ''n'', равна <texdpi="150">\frac{1}{2^{n}}</tex>. Пусть игрок может сыграть не более ''k'' игр. Тогда вероятность того, что количество бросков хотя бы в одной игре превысит ''n'', равна <texdpi="120">1-(1-\frac{1}{2^{n}})^{k}</tex>.

Известно, что <texdpi="150">\lim_{n\rightarrow\infty}1-(1-\frac{1}{2^{n}})^{k} = \frac{k}{2^{n}}</tex> (теорема Бернулли).Пусть ''p'' - предельная ненулевая вероятность. Тогда «реальное» количество бросков не превышает <texdpi="150">\log_2 \frac{k}{p}</tex>. При таком допущении средний выигрыш за одну игру приближёно равен:

<texdpi="150">1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4}+...+2^{n} \cdot \frac{1}{2^{n+1}}=\frac{n}{2},</tex> где <texdpi="150">n=\log_2 \frac{k}{p}.</tex>

Таким образом, средний выигрыш равен <texdpi="150">\frac{1}{2} \log_2 \frac{k}{p}.</tex>