Изменения

* вероятность выпадения 1 и 2 в конвертах — <texdpi="120">(1-q)</tex>

* вероятность выпадения 2 и 4 в конвертах — <texdpi="120">(1-q)q</tex>

* вероятность выпадения 4 и 8 в конвертах — <texdpi="120">(1-q)q^2</tex>

* вероятность выпадения <texdpi="120">2^i</tex> и <texdpi="120">2^{i+1}</tex> в конвертах — <texdpi="120">(1-q)q^i</tex>

тогда сумма всех вероятностей действительно <texdpi="120">(1-q) \cdot \frac{1}{(1-q)} = 1</tex>

Итак, пусть нам дали конверт с суммой <texdpi="120">2^i</tex>. тогда вероятность того, что в другом конверте <texdpi="120">2^{i-1} \ </tex> — <texdpi="120"> \ \frac{1}{(1+q)} </tex>, а того, что в другом конверте <texdpi="120">2^{i+1} \ </tex> — <texdpi="120"> \ \frac{q}{(1+q)} </tex>

Тогда "в среднем" при обмене мы будем получать <texdpi="120">\left ( 2^{i-1} \cdot \frac{1}{(1+q)} + 2^{i+1} \cdot \frac{q}{(1+q)} \right ) = 2^i \cdot \left ( \frac{1 + 4q}{2 + 2q} \right ) </tex>.

При <texdpi="120">q > \frac{1}{2}</tex> последняя скобка больше единицы. Таким образом "в среднем" мы получим больше, чем <texdpi="120">2^i</tex>. Такое же рассуждение справедливо для обоих игроков. В чем же тут ошибка рассуждения?

<texdpi="120">E = \displaystyle \frac{(1 - q)}{2} \cdot 1 + \sum_{i=1}^{\infty} \left ( 2^i \cdot \frac{ (1 - q)q^{i-1} + (1-q)q^i }{2} \right ) = \frac{(1 - q)}{2} + (1 - q^2) \sum_{i=0}^{\infty} \left ( 2q \right )^i</tex>, а так как <texdpi="120">q > \frac{1}{2}</tex>, то под знаком суммирования стоит возрастающая геометрическая прогрессия, тогда <texdpi="120">E = \infty</tex>.

А в равенстве <texdpi="120"> \infty = \infty \cdot \left ( \frac{1 + 4q}{2 + 2q} \right ) </tex> ошибки нет.