Изменения

|definition= '''Паросочетание''' (англ. ''matсhing'') <tex>M</tex> в двудольном графе — произвольное множество ребер рёбер двудольного графа, такое что никакие два ребра не имеют общей вершины.}}

|definition= Вершины двудольного графа, инцидентные ребрам рёбрам паросочетания <tex>M</tex>, называются '''покрытыми'''(англ. ''matched''), а неинцидентные — '''свободными'''(англ. ''unmatched'').}}

|definition= '''Чередующаяся цепьЧислом рёберного покрытия''' — путь в двудольном графе, для любых двух соседних ребер которого верно, что одно из них принадлежит паросочетанию (англ. ''edge covering number'') называется размер минимального рёберного покрытии графа <tex>G</tex> и обозначается через <tex>M\rho(G)</tex>, а другое нет.}}

|definition= Число рёбер в наибольшем паросочетании графа <tex>G</tex> называется '''числом паросочетания''' (англ. ''matching number'').}}{{Определение|id = maximal_matching|definition= '''Максимальное паросочетание''' (англ. ''maximal matching'') — это такое паросочетание <tex>M</tex> в графе <tex>G</tex>, которое не содержится ни в каком другом паросочетании этого графа, то есть к нему невозможно добавить ни одно ребро, которое бы являлось несмежным ко всем рёбрам паросочетания.}}Другими словами, паросочетание <tex>M</tex> графа <tex>G</tex> является максимальным, если любое ребро в <tex>G</tex> имеет непустое пересечение по крайней мере с одним ребром из <tex>M</tex>. {{Определение|id = perfect_matching|definition= Паросочетание <tex>M</tex> графа <tex>G</tex> называется '''совершенным (или полным)''' (англ. ''perfect matching''), если оно покрывает все вершины графа.}}{{Определение|definition= '''Чередующаяся цепь''' (англ. ''alternating path'') — путь в двудольном графе, для любых двух соседних рёбер которого верно, что одно из них принадлежит паросочетанию <tex>M</tex>, а другое нет.}}{{Определение|definition= '''Дополняющая цепь(или увеличивающая цепь)''' (англ. ''augmenting path'') — чередующаяся цепь, у которой оба конца свободны.}}{{Определение|definition= '''Уменьшающая цепь''' (англ. ''reduce path'') — чередующаяся цепь, у которой оба конца покрыты.}}{{Определение|definition= '''Сбалансированная цепь''' (англ. ''balanced path'') — чередующаяся цепь, у которой один конец свободен, а другой покрыт.}} == Свойства == В любом графе без изолированных вершин, число паросочетания и число рёберного покрытия в сумме дают число вершин. Если существует совершенное паросочетание, то оба числа равны <tex>|V|/2</tex>. == Пример максимального и полного паросочетания, чередующейся цепи == {|align="center" |-valign="center" |[[Файл: Maximal matching.jpg|thumb|210px|<font color=red>красные рёбра</font> являются рёбрами максимального паросочетания]] |[[Файл: Perfect_matching.jpg|thumb|245px|<font color=red>красные рёбра</font> являются рёбрами полного паросочетания.]] |[[Файл: Alternating_path.jpg|thumb|210px|Пусть <font color=red>красные рёбра</font> принадлежат паросочетанию <tex>M</tex>, а <font color=blue>синие</font> не принадлежат, тогда чередующаяся цепь: <tex>1-8-4-6-3-7</tex>]] |}

Пусть в двудольном графе <tex>G</tex> с максимальным паросочетанием <tex>M</tex> существует дополняющая цепь. Тогда пройдя по ней и заменив вдоль нее неё все ребрарёбра, входящие в паросочетание, на невходящие и наоборот, мы получим большее паросочетание. То есть <tex>M</tex> не являлось максимальным. Противоречие.

Рассмотрим паросочетание <tex>M</tex> в графе <tex>G</tex> и предположим, что <tex>M</tex> {{- --}} не наибольшее. Докажем, что тогда имеется увеличивающая цепь относительно <tex>M</tex>. Пусть <tex>M'</tex> {{--- }} другое паросочетание и <tex>|M'|>|M|</tex>. Рассмотрим подграф <tex>H</tex> графа <tex>G</tex>, образованный теми ребрамирёбрами, которые входят в одно и только в одно из паросочетаний <tex>M</tex>, <tex>M'</tex>. Иначе говоря, множеством ребер рёбер графа <tex>H</tex> является симметрическая разность <tex>M\oplus M'</tex>. В графе <tex>H</tex> каждая вершина инцидентна не более чем двум ребрам рёбрам (одному из <tex>M</tex> и одному из <tex>M'</tex> ), т.е. имеет степень не более двух. В таком графе каждая компонента связности {{--- }} путь или цикл. В каждом из этих путей и циклов чередуются ребра рёбра из <tex>M</tex> и <tex>M'</tex>. Так как <tex>|M'|>|M|</tex>, имеется компонента, в которой ребер рёбер из <tex>M'</tex> содержится больше, чем ребер рёбер из <tex>M</tex>. Это может быть только путь, у которого оба концевых ребра принадлежат <tex>M'</tex>. Заметим, что относительно <tex>M</tex> этот путь является увеличивающей (дополняющей) цепью.

==ЛитератураСм. также==* [[Теорема Холла]]* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]* [[Связь вершинного покрытия и независимого множества]] == Источники информации ==* [http://en.wikipedia.org/wiki/Matching_%28graph_theory%29 Wikipedia {{---}} Matching]* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%BE%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Википедия {{---}} Паросочетание]* Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. стр. 227-232 '''ISBN 978-5-8114-1068-2'''