Изменения
→Паросочетание в двудольном графе
|definition= Число рёбер в наибольшем паросочетании графа <tex>G</tex> называется '''числом паросочетания''' (англ. ''matching number'').}}
{{Определение
|id = maximal_matching|definition= '''Максимальное паросочетание(по включению)''' (англ. ''maximal matching'') — это такое паросочетание <tex>M</tex> в графе <tex>G</tex>, которое не содержится ни в каком другом паросочетании этого графа, то есть к нему невозможно добавить ни одно ребро, которое бы являлось несмежным ко всем рёбрам паросочетания.}}
Другими словами, паросочетание <tex>M</tex> графа <tex>G</tex> является максимальным, если любое ребро в <tex>G</tex> имеет непустое пересечение по крайней мере с одним ребром из <tex>M</tex>.
{{Определение
|id = maximal_matching_size
|definition= '''Максимальное паросочетание (по мощности)''' (англ. ''maximum cardinality matching'') — это паросочетание <tex>M</tex> в графе <tex>G</tex> максимальное по мощности.}}
{{Определение
|id = perfect_matching|definition= Паросочетание <tex>M</tex> графа <tex>G</tex> называется '''совершенным (или полным)''' (англ.''perfect matching''), если оно покрывает все вершины графа.}}
{{Определение
|definition= '''Чередующаяся цепь''' (англ. ''alternating path'') — путь в двудольном графе, для любых двух соседних рёбер которого верно, что одно из них принадлежит паросочетанию <tex>M</tex>, а другое нет.}}
Рассмотрим паросочетание <tex>M</tex> в графе <tex>G</tex> и предположим, что <tex>M</tex> {{---}} не наибольшее. Докажем, что тогда имеется увеличивающая цепь относительно <tex>M</tex>. Пусть <tex>M'</tex> {{---}} другое паросочетание и <tex>|M'|>|M|</tex>. Рассмотрим подграф <tex>H</tex> графа <tex>G</tex>, образованный теми рёбрами, которые входят в одно и только в одно из паросочетаний <tex>M</tex>, <tex>M'</tex>. Иначе говоря, множеством рёбер графа <tex>H</tex> является симметрическая разность <tex>M\oplus M'</tex>. В графе <tex>H</tex> каждая вершина инцидентна не более чем двум рёбрам (одному из <tex>M</tex> и одному из <tex>M'</tex> ), т.е. имеет степень не более двух. В таком графе каждая компонента связности {{---}} путь или цикл. В каждом из этих путей и циклов чередуются рёбра из <tex>M</tex> и <tex>M'</tex>. Так как <tex>|M'|>|M|</tex>, имеется компонента, в которой рёбер из <tex>M'</tex> содержится больше, чем рёбер из <tex>M</tex>. Это может быть только путь, у которого оба концевых ребра принадлежат <tex>M'</tex>. Заметим, что относительно <tex>M</tex> этот путь является увеличивающей (дополняющей) цепью.
}}
==См. также==
* [[Теорема Холла]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]
* [[Связь вершинного покрытия и независимого множества]]
== Источники информации ==
