Изменения

Пусть <mathtex>g</mathtex> - — первообразный корень по модулю <mathtex>p</mathtex><tex>\in\mathbb{P}</tex>. Тогда <mathtex>g</mathtex>^a - — ''первообразный корень по модулю <mathtex>p</mathtex> <mathtex>\Leftrightarrow</mathtex> НОД<mathtex>(a;p-1)=1</mathtex>.''<br>

Так как g^a - — первообразный корень, значит (g^a)^φ(p)=1, но p<tex>\in\mathbb{P}</tex>, поэтому φ(p)=p-1, значит (g^a)^p-1=1, и это же справедливо для g: g^p-1=1. Пусть НОД(a;p-1)=k, k>1, тогда <mathtex>1=g^{p-1}=(g^{p-1})^{\frac{a}{k}}=(g^{\frac{p-1}{k}})^a=(g^a)^{\frac{p-1}{k}}</mathtex>. Но, по определению ord, <mathtex>p-1</mathtex> - — минимальная степень, в которую следует возвести <mathtex>g^a</mathtex>, чтобы получить единицу, а <mathtex>\frac{p-1}{k}<p-1</mathtex>. Получили противоречие, теорема доказана.*\cdot Теперь докажем обратную теорему:Пусть существует k такое, что <mathtex>g^{a\cdot k}=1</mathtex>, и <mathtex>k<p-1</mathtex>. Но <mathtex>g^{p-1}=1</mathtex>, значит <mathtex>g^{a\cdot k}=g^{p-1}</mathtex>. Следовательно либо <mathtex>(a*\cdot k) \vdots (p-1)</mathtex>, либо <mathtex>(p-1) \vdots (a*\cdot k)</mathtex>. Но по определению первообразного корня, и ord, <mathtex>p-1 \leqslant a*\cdot k</mathtex>, то есть <mathtex>(a*\cdot k) \vdots (p-1)</mathtex>, а так как НОД<mathtex>(a; p-1)=1</mathtex>, то <mathtex>k \vdots (p-1) \Rightarrow p-1 \leqslant k</mathtex>, что противоречит нашему предположению. Обратная теорема доказана.

Пусть g - — первообразный корень.<br>Во-первых, при <math>a=k*(p-1)+b \text{, }b<p-1 \colon g^a=(g^{p-1})^{k}*g^b=1\cdot g^{b}</math>. Таким образом есть смысл рассматривать только первообразные корни, образованные из исходного, путем возведения в степень не выше <math>p-1</math>.<br>Во-вторых, исходный первообразный корень существует, так как мультипликативная группа поля вычетов <mathtex>\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}</mathtex> циклична (то есть <mathtex>\exists a\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\colon\forall b\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \text{ } \exists k\colon a^k=b</mathtex>).<br>Во-вторых, при <tex>a=k\cdot (p-1)+b \text{, }b<p-1 \colon g^a=(g^{p-1})^{k}\cdot g^b=1\cdot g^{b}</tex>. Таким образом есть смысл рассматривать только первообразные корни, образованные из исходного, путем возведения в степень не выше <tex>p-1</tex>.<br>По доказанной обратной теореме <mathtex>\forall a \colon с (a \text{; } p-1)=1 \Rightarrow g^a</mathtex> - — первообразный корень. С другой стороны для любого другого a, по прямой теореме <mathtex>g^a</mathtex> не является первообразным корнем. Но по определению <mathtex>\varphi(p-1)</mathtex> равно количеству <mathtex>a \colon </mathtex> НОД <mathtex>(a;p-1)=1</mathtex>. Очевидно, для всех <mathtex>a<p-1\text{, }g^a</mathtex> различны. Теорема доказана.