20
правок
Изменения
minor fixes
|proof = <tex>\supset</tex>.<br>
Пусть <tex>B</tex> {{---}} максимальный барьер, <tex>|A(G)\setminus B| = k > 0</tex>, <tex>B' = B \cup A(G)</tex>.<br>
Докажем, что <tex>B'</tex> {{---}} барьер и получим противоречие. Для этого достаточно доказать, что <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \ge geqslant \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + k</tex>, ведь в таком случае <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ - |B'| \ge geqslant \mathrm{def}(G)</tex>. <br>
[[Файл: Max_barriers_a.png|170px|thumb|right|Рис.'''a''']]
[[Файл: Max_barriers_b.png|170px|thumb|right|Рис.'''b''']]
По [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#theorem_Gallai_Edmonds| теореме Эдмондса-Галлаи]] все эти компоненты связности нечетные и их хотя бы <tex>t + 1</tex>. <br>
Таким образом, при добавлении <tex>t</tex> вершин из <tex>W\cap A(G)</tex> в барьер может исчезнуть одна нечётная компонента связности (если <tex>|W|</tex> нечётно), а появляется хотя бы <tex>t + 1</tex> нечётная компонента связности. <br>
Просуммировав прибавления по всем компонентам связности графа <tex>G - B</tex>, содержащим вершины из <tex>A(G)</tex>, мы получим, что <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \ge geqslant \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + k</tex>, что и требовалось доказать.<br>
<br>
<tex>\subset</tex>.<br>
Предположим противное, пусть существует вершина <tex>x\notin A(G)</tex>, принадлежащая всем максимальным барьерам. По [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#barier_struct3| теореме о структуре барьера]] <tex>x\in C(G)</tex>.<br>
Рассмотрим максимальное паросочетание <tex>M</tex> графа <tex>G</tex>, пусть <tex>xy\in M</tex>.<br>
Докажем, что <tex>B = A(G)\cup \{ y \}</tex> {{---}} барьер графа <tex>G</tex>. Так как <tex>|B| = |A(G)| + 1</tex>, достаточно доказать, что <tex>\mathrm{odd}(B)\ \ge geqslant \mathrm{odd}(A(G))\ + 1</tex>.<br>
По [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#theorem_Gallai_Edmonds| теореме Эдмондса-Галлаи]] <tex>y\in C(G)</tex>. Пусть <tex>W</tex> {{---}} компонента связности графа <tex>G(C(G))</tex>, содержащая <tex>x</tex> и <tex>y</tex> (см. рис. b). Вершины <tex>W</tex> разбиваются на пары соединённых рёбрами из <tex>M</tex>, поэтому <tex>|W|</tex> чётно.<br>
Множество <tex>W' = W\setminus \{ y \}</tex> содержит нечётное число вершин и является объединением нескольких компонент связности графа <tex> G - B</tex>, которых нет в <tex>G - A(G)</tex>. Среди этих компонент связности есть нечётная, значит <tex>B</tex> {{---}} барьер графа <tex>G</tex>.<br>
