Пересечение матроидов, определение, примеры

Материал из Викиконспекты
Версия от 10:39, 9 июня 2015; Shersh (обсуждение | вклад) (Ориентированное дерево)
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
Пусть даны два матроида [math]M_1 = \langle X, \mathcal{I}_1\rangle[/math] и [math]M_2 = \langle X, \mathcal{I}_2 \rangle[/math].

Пересечением матроидов (англ. matroid intersection) [math]M_1[/math] и [math]M_2[/math] называется пара [math]M_1 \cap M_2 = \langle X, \mathcal{I} \rangle[/math], где [math]X[/math] — носитель исходных матроидов, а [math] \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cap \mathcal{I}_2[/math].

  • Пересечение матроидов не всегда является матроидом.
  • Пересечение трех и более матроидов — это NP-полная задача.


Разноцветное дерево

[math]M_1[/math] — графовый матроид, [math]M_2[/math]разноцветный матроид (англ. multicolored matroid) (Множество независимо, если в нём нет двух ребер одного цвета). Тогда их пересечение — это разноцветный лес (англ. rainbow forests).

Утверждение:
Пересечение данных матроидов не является матроидом.
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим пару [math]\langle X, \mathcal{I}\rangle[/math], [math]X[/math] — ребра разноцветного леса, [math] \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cap \mathcal{I}_2[/math]. Данная пара не является матроидом, так как не выполняется третье свойство матроида, то есть [math]\exists A, B \in \mathcal{I}, |A| \gt |B| [/math] и [math]\nexists \, x \in A \setminus B : B \cup \{x\} \in \mathcal{I}[/math] (См. пример 1)

Пример 1
[math]\triangleleft[/math]

Двудольный граф

Пусть [math]G[/math] — двудольный граф и заданы два матроида [math]M_1 = \langle X, \mathcal{I}_1 \rangle[/math], [math]M_2 = \langle X, \mathcal{I}_2 \rangle[/math], где [math]X[/math] — множество ребёр графа, [math]\mathcal{I}_1 = \{F \subseteq X: \deg(v) \leqslant 1 \: \forall v \in L \}[/math], [math]\mathcal{I}_2 = \{F \subseteq X: \deg(v) \leqslant 1 \: \forall v \in R \}[/math]. Тогда их пересечение — это множество всевозможных паросочетаний графа.

Утверждение:
Пересечение данных матроидов не является матроидом.
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим пару [math]\langle X, \mathcal{I}\rangle[/math], [math]X[/math] — носитель, [math] \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cap \mathcal{I}_2[/math]. Данная пара не является матроидом, так как не выполняется третье свойство матроида, то есть [math]\exists A, B \in \mathcal{I}, |A| \gt |B| [/math] и [math]\nexists \, x \in A \setminus B : B \cup \{x\} \in \mathcal{I}[/math] (См. пример 2)

Пример 2
[math]\triangleleft[/math]

Ориентированное дерево

Определение:
Ориентированное дерево (англ. arborescence) — ацикличный орграф (ориентированный граф, не содержащий циклов), в котором только одна вершина имеет нулевую степень захода (в неё не ведут дуги), а все остальные вершины имеют степень захода [math]1[/math] (в них ведёт ровно по одной дуге).

Пусть [math]D = \langle V, A \rangle [/math][math]r[/math]-ориентированное дерево. Пусть граф [math]G[/math] — неориентированный граф, соответствующий графу [math]D[/math]. Тогда рассмотрим два матроида [math]M_1 = \langle A, \mathcal{I}_1 \rangle, M_2 = \langle A, \mathcal{I}_2 \rangle[/math], где [math]A[/math] — множество ребёр графа, [math]M_1[/math] — графовый матроид [math]G[/math], [math]\mathcal{I}_2 = \{F \subseteq X: \deg^-(v) \leqslant 1 \: \forall v \in V \setminus \{r\} \}[/math]. Пересечения данных матроидов является ориентированным деревом.

См. также

Источники информации

  • Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы (глава 4. Матроиды)
  • Lecture notes on matroid intersection