Изменения

==Вычисление пересечения двух многоугольников представленных в виде РСДСВведение ==[[Файл:PSLGPSLG_overlaying_w.png|400px|right|thumb|left|Ну как то так. Очевидно жеПример работы алгоритма пересечения ППЛГ]]Пересечением двух [[ФайлППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL):PSLG1.png|400pxопределение, построение РСДС множества прямых|thumb|right|Создание новой компонентыППЛГ]]является ППЛГ, получающийся наложением двух исходных ППЛГ с созданием вершин в точках пересечения ребер. Определим пересечение двух ППЛГ <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex> как ППЛГ <tex>O(S_1, S_2)</tex>, такой, что в нем существует грань <tex>f</tex> тогда и только тогда, когда существуют грани <tex>f_1</tex> в <tex>S_1</tex> и <tex>f_2</tex> в <tex>S_2</tex> такие, что <tex>f</tex> является наибольшим связным подмножеством <tex>f_1 \cap f_2</tex>. Иначе говоря, пересечение двух ППЛГ — это разбиение плоскости с помощью ребер из <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>. {{Задача|definition = Необходимо построить [[ФайлППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL):PSLG2.pngопределение, построение РСДС множества прямых|400px|thumb|right|Создание новой компонентыРСДС]][[Файл:PSLG3для <tex>O(S_1, S_2)</tex>, имея РСДС для <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>.png|400px|thumb|left|Граф Кроме того, для поиска face]]каждой грани из <tex>O(S_1, S_2)</tex> будем хранить ссылки на грани из <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>, содержащие ее.}}

==Алгоритм=='''MapOverlay (Для начала скопируем ППЛГ <tex>S_1</tex>и <tex>S_2</tex> в новый РСДС. Далее необходимо преобразовать полученный РСДС, чтобы он соответствовал <tex>O(S_1, S_2)</tex>)'''. Отдельно рассмотрим преобразования вершин, полуребер и граней.

Дано=== Вершины и полуребра ===[[Файл:PSLG_sweep_w.png|220px|right|thumb|Алгоритм заметающей прямой]]Алгоритм базируется на [[Пересечение множества отрезков|заметающей прямой]], определяющей пересечения отрезков. Запускаем алгоритм на множестве отрезков, представляющих собой ребра из <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>. Напомним, что алгоритм поддерживает очередь событий <tex>Q</tex> и текущий статус <tex>T</tex> заметающей прямой. Также будем поддерживать ссылки между ребрами статуса и соответствующими полуребрами из РСДС. Поддерживаемый инвариант: 2 ППЛГ в виде любой момент времени РСДСнад заметающей прямой корректен.

ВыводОбработка точки события происходит следующим образом: пересечение этих сначала обновляем <tex>Q</tex> и <tex>T</tex> (как в алгоритме пересечения отрезков). Если оба ребра события принадлежат одному ППЛГ , переходим к следующему событию. В противном случае, необходимо модифицировать РСДС. Возможны следующие варианты пересечений (см. рисунок ниже):<ol type="a"><li>Вершина ребра <tex>e_2</tex> проходит через ребро <tex>e_1</tex>, разбивая его на два новых ребра.</li><li>Ребро <tex>e_1</tex> пересекает ребро <tex>e_2</tex>. Образуется четыре новых ребра.</li><li>Ребра <tex>e_1</tex> и <tex>e_2</tex> пересекаются в виде РСДСобщей вершине.</li><li>Вершина ребра <tex>e_1</tex> проходит через ребро <tex>e_2</tex>, разбивая его на два новых ребра.</li><li>Ребра <tex>e_1</tex> и <tex>e_2</tex> имеют общий отрезок. Образуется новое ребро.</li>Алгоритм:</ol>

1{| cellpadding="3"|[[Файл:PSLG_overlay_cases_w. Копируем png|600px|center|thumb|Варианты пересечений ребер <tex>S_1e_1</tex> и <tex>S_2</tex> в РСДС <tex>De_2</tex>.Слева направо случаи (a) - (e).]]|}

2Рассмотрим один из случаев, остальные обрабатываются аналогично. Находим все пересечения ребер Пусть ребро <tex>e</tex> из <tex>S_1</tex> с проходит через вершину <tex>v</tex> из <tex>S_2</tex>. Ребро <tex>e</tex> заменяем двумя ребрами <tex>e'</tex> и <tex>e''</tex>. Два полуребра, соответствующих <tex>e</tex>, заменяются четырьмя полуребрами: два существующих полуребра будут исходить из концов <tex>e</tex>, а два новых полуребра — из <tex>v</tex> (см. рисунок). Устанавливаем ссылки на близнецов для ребер <tex>e'</tex> и <tex>e''</tex>. Обновим ссылки на следующие полуребра для <tex>h_1</tex> и <tex>h_4</tex>, пусть это будут <tex>h_5</tex> и <tex>h_6</tex>, соответственно. Не забудем установить полуребра <tex>h_1</tex> и <tex>h_4</tex> в качестве предыдущих полуребер у <tex>h_5</tex> и <tex>h_6</tex>. Теперь обновим ссылки на полуребра, инцидентные вершине <tex>v</tex>. Для этого сначала при помощи порядка обхода определим, между какими полуребрами <tex>S_2</tex> находится <tex>e</tex>. Рассмотрим полуребро <tex>h_3</tex>: свяжем его с первым полуребром, видимым из <tex>h_4</tex> при обходе по часовой стрелке и исходящем из <tex>v</tex>. Полуребро <tex>h_4</tex> должно быть связано с первым полуребром, идущим в <tex>v</tex>, при обходе против часовой стрелки. Аналогично обработаем <tex>e''</tex>.{| cellpadding="3"|[[Файл:PSLG_edge_vertex_w.png|x180px|center|thumb|Пересечение вершины <tex>v</tex> и ребра <tex>e</tex>]]|[[Файл:PSLG_edge_vertex2_w.png|x180px|center|thumb|Модификация полуребер]]|}==== Время работы ====Большинство шагов алгоритма работают константное время. Определение соседних полуребер с помощью заметающей прямой<tex>e'</tex> и <tex>e''</tex> происходит за линейное время от степени вершины. Следовательно, обновление РСДС не увеличивает время работы алгоритма пересечения отрезков, поэтому сведения о вершинах и полуребрах для итогового РСДС могут быть вычислены за время <tex>O(n \log{n} + k \log{n})</tex>, где <tex>n</tex> — сумма сложностей <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>, <tex>k</tex> — количество точек пересечения.

2=== Грани ===[[Файл:PSLG_left_vertex_w.1 Когда находим точки пересеченияpng|250px|right|thumb|Поиск внешних границ и дырок. Вершины <tex>v</tex> и <tex>u</tex> – левые вершины циклов. Для полуребер <tex>h_1</tex> и <tex>h_2</tex> грань <tex>f</tex> является внутренней, для полуребер <tex>h_3</tex> и <tex>h_4</tex> – внешней.]]Необходимо получить информацию о гранях итогового РСДС: ссылка на полуребро внешней границы, список ссылок на полуребра дырок внутри грани, ссылка на грани из <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>, содержащие новую грань. Также необходимо для полуребер установить ссылки на инцидентную грань.У каждой грани существует уникальная внешняя граница, поэтому количество граней будет на единицу больше, чем количество внешних границ (дополнительная граница ограничивает весь ППЛГ). Таким образом, каждой грани можно ставить в соответствие внешнюю границу данной грани (кроме внешней грани ППЛГ, для нее мы введем мнимую внешнюю границу). Следовательно, необходимо обойти все внешние границы ППЛГ и создать грань для каждой границы. Для того, чтобы определить, является цикл внешней границей или дыркой, рассмотрим самую левую вершину цикла <tex>v</tex> (определяется обходом по циклу). Напомним, что полуребра ориентированы так, что инцидентная им грань лежит левее полуребра. С учетом этого, оценим угол внутри грани между полуребрами, инцидентными <tex>v</tex>. Если угол меньше <tex>180^\circ</tex>, то обновляем цикл является внешней границей грани, в противном случае – лежит внутри грани. Данное свойство выполняется для вершины <tex>Dv</tex>, но может не выполняться для остальных вершин.

3. Теперь Для определения того, какие границы принадлежат одной грани, построим вспомогательный граф <tex>DG</tex> это нормальный , в котором каждая граница является вершиной. Также добавим вершину для мнимой границы внешней грани. Между двумя вершинами графа, соответствующим двум циклам РСДС, но без информации о facesсуществует ребро тогда и только тогда, когда один цикл является границей дырки, а второй цикл является ближайшим слева к самой левой вершине первого цикла.Если левее самой левой вершины цикла нет полуребер, то соединим этот цикл с мнимой границей внешней грани ППЛГ.{| cellpadding="3"| [[Файл:PSLG_graph_w.png|400px|center|thumb|Построение графа <tex>G</tex>]]|}

5{{Лемма|statement=Каждой компоненте связности графа <tex>G</tex> соответствует множество циклов, инцидентных только одной грани. Создаем граф |proof=Рассмотрим цикл <tex>GC</tex>, ограничивающий дырку в котором узлы будут отвечать за boundary cycles грани <tex>f</tex>. Грань <tex>f</tex> лежит левее самой левой вершины <tex>C</tex>, поэтому <tex>C</tex> должен быть связан с другим циклом грани <tex>f</tex>. Следовательно, циклы одной компоненты связности графа <tex>G</tex> ограничивают одну и ту же грань.Покажем, что каждый цикл, ограничивающий дырку грани <tex>f</tex>, находится в котором ребра будут соединять только те узлыодной компоненте связности с внешней границей грани <tex>f</tex>. Предположим, один из которых будет являться границей дырычто существует цикл, а другой будет находиться слева от самой левой точки первогодля которого это не выполняется. (В случаеПусть <tex>C</tex> – самый левый такой цикл, если это причем его левая вершина также самая внешняя границалевая. По определению, то для нее пусть будет мнимая гигантская границасуществует ребро между <tex>C</tex> и циклом <tex>C'</tex>, который лежит левее <tex>C</tex>. Следовательно, <tex>C'</tex> лежит в одной компоненте связности с которой мы ее и соединим)<tex>C</tex>, причем <tex>C'</tex> не является внешней границей <tex>f</tex>. Получается, что <tex>C'</tex> лежит левее <tex>C</tex>, что противоречит определению <tex>C</tex>.}}

6==== Построение графа <tex>G</tex>====Напомним, что в алгоритме заметающей прямой для пересечения отрезков мы искали ближайший отрезок, находящийся левее точки события. Эта информация необходима для построения графа <tex>G</tex>. Сначала создадим вершину для каждой границы. Далее необходимо построить ребра в графе, для этого найдем левую вершину каждой дырки и определим, какое ребро лежит слева от данной вершины. Для каждой компоненты эффективности будем для каждого полуребра хранить ссылку на вершину графа, содержащую это полуребро. Таким образом, информация о гранях может быть восстановлена за время <tex>O(n + k)</tex>, после алгоритма заметающей прямой. Также заметим, что информацию о структуре графа:можно хранить в записях граней.

7==== Маркировка граней ====Необходимо для каждой грани РСДС определить, какие грани из <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex> содержат ее. Пусть Рассмотрим вершину <tex>Cv</tex> будет уникальная наружная граница цикла в компоненте, а грани <tex>f</tex> будет означать face ограниченный этим циклом. Создадим face для Если <tex>v</tex> является пересечением ребра <tex>e_1</tex> из <tex>S_1</tex> и ребра <tex>e_2</tex> из <tex>fS_2</tex>, то по указателям на инцидентные грани можно определить, какие грани содержат данные ребра. Запишем outer_component в какой-нибудь half-edge Если <tex>v</tex> является вершиной <tex>S_1</tex>, то мы можем определить только грань из <tex>CS_1</tex>, содержащую <tex>v</tex>. И создадим список inner_componentsНеобходимо научиться определять грань из <tex>S_2</tex>, состоящий содержащую <tex>v</tex>. То есть для каждой вершины из указателей на какой-нибудь half-edge <tex>S_1</tex> мы должны знать, какая грань из каждого цикла. А так же пусть incident_face в каждом half-edge будут обновлены на <tex>fS_2</tex>содержит данную вершину, и наоборот. Это также делается заметающей прямой.

==Q&A= Итог ==='''Копирование Вход: два ППЛГ <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>, представленные в виде РСДС''' - просто объединение в одну структуру. Как сделать его правильным - это уже следующие пункты.

'''Как из Выход: пересечение <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>, представленное в виде РСДС <tex>D</tex>.# Скопируем <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex> в новый РСДС <tex>D</tex>.# Найдем пересечения ребер сделать новую компоненту РСДС''' - см рисунокиз <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex> с помощью заметающей прямой. При обработке события будем обновлять <tex>D</tex>, если событие затрагивает <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>. Также для вершины события сохраним информацию о ближайшем полуребре слева.# Найдем граничные циклы в <tex>O(S_1, S_2)</tex>, обходя <tex>D</tex>.# Построим граф <tex>G</tex>, вершинам которого соответствуют циклы, соединив ребрами дырки и циклы, ближайшие слева к левым вершинам дырок.# Для каждой компоненты связности графа <tex>G</tex>: пусть <tex>C</tex> – внешняя граница компоненты связности, ограничивающая грань <tex>f</tex>. Создать запись для этой грани, установить ссылку на полуребро внешней границы грани и ссылки на полуребра дырок грани. Также для всех полуребер грани установить ссылки на инцидентную грань.# Для каждой грани <tex>f</tex> из <tex>O(S_1, S_2)</tex> установить ссылки на грани из <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>, содержащие <tex>f</tex>.

'''Сколько будет faces?''' Столько же== Общее время работы =={{Теорема|statement=Пусть <tex>S_1</tex> имеет сложность <tex>n_1</tex>, сколько outer boudaries <tex>S_2</tex> имеет сложность <tex>n_2</tex>, <tex>n = n_1 + n_2</tex>. Пересечение <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex> может быть построено за время <tex>O(n \log{n} + k \log{n})</tex>, где <tex>k</tex> – количество точек пересечения <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>.|proof=Копирование двух РСДС в один занимает <tex>O(n)</tex> времени, заметающая прямая работает <tex>O(n \log{n} + k \log{n})</tex> времени по лемме. Создание граней работает линейное время от сложности <tex>O(S_1, S_2)</tex>. Маркировка граней РСДС работает за <tex>O(n \log{n} + 1k \log{n})</tex>.}}

'''Как узнать, что данный цикл это внешняя граница для face или же это дыра в нем?''' Мы знаем, что face находится слева от half-edge== См. Поэтому возьмем самую левую точку также ==*[[ППЛГ и РСДС (в случаем, если их несколько, то самую нижнююPSLG и DCEL) и возьмем входящий и выходящий из нее half-edge. В случае угла между ними менее 180 градусов, то это внешняя граница: определение, иначе это дыра. Это действует только для самой левой точки из цикла.построение РСДС множества прямых]]*[[Пересечение множества отрезков]]

'''Че за граф такой пацанский?''' См рисунок. Из него мы сможем понять== Источники информации ==* de Berg, Cheong, van Kreveld, какие циклы принадлежат одному и тому же faceOvermars. НапримерComputational Geometry, в рисунке мы видимAlgorithms and Applicants, что C2, C3 и C6 являются циклами одного face2008. Из предыдущего вопроса мы понимаем, что C2 есть внешняя границаpp.33-39

'''Лемма к предыдущему вопросу''' - Каждая компонента графа отвечает за множество циклов инцидентных одному face. '''Доказательство'''[[Категория: Рассмотрим цикл <tex>C</tex>, который ограничивает дыру в face <tex>f</tex>. Поскольку <tex>f</tex> локально лежит левее самой левой вершины из <tex>C</tex>, то <tex>C</tex> должен быть соединен с другим циклом, который тоже ограничивает <tex>f</tex>. отсюда следует, что циклы есть компонента связности в графе, описывающая один и тот-же face. Для того, что бы закончить доказательство, покажем, что каждый цикл ограничивающий дыру в <tex>f</tex> есть в той же компоненте связности, что и внешняя граница <tex>f</tex>. Предположим, что есть цикл, для которого это не так. Пусть <tex>C</tex> — самый левый такой цикл, то есть тот, чья самая левая вершина самая левая (шляпа). По определению есть ребро между <tex>C</tex> и неким <tex>C'</tex>, который лежит слева от самой левой вершины <tex>C</tex>. Следовательно <tex>C</tex> в той же компоненте связности, что и <tex>C'</tex>, который не в той же компоненте, что внешняя граница <tex>f</tex>. Противоречие. == Литература и источники ==* Вычислительная геометрия. Алгоритмы и приложения, де Берг Марк ]][[Категория: ППЛГ и другие. Глава 2.3РСДС]]