Просмотр исходного текста страницы Пересечение отрезков и поворот: определение, свойства, вычисление

== Аффинное пространство ==

Формальное определение есть, например, [http://ru.wikipedia.org/wiki/Аффинное_пространство на википедии].
Неформально: аффинное пространство - удобная геометрическая абстракция, рассматривающая точки (в отличие от векторов линейного пространства). Точки нельзя складывать между собой или умножать на число; к точке можно прибавить вектор, получив другую точку; можно получить вектор разности двух точек. Все приведенные операции обладают геометрически интуитивными и ожидаемыми свойствами.

Наряду с линейными комбинациями векторов рассматривают аффинные комбинации точек аффинного пространства <math>A</math>:
<math>\sum \lambda_i a_i</math>, где <math>\lambda_i \in \mathbb{R}, a_i \in A</math>.
По определению считают <math>\sum \lambda_i a_i = b + \sum \lambda_i \overrightarrow{(a_i - b)}, b \in A, \sum \lambda_i = 1</math> 
{{Лемма
|statement=
В случае равенства единице суммы коэффициентов результат не зависит от выбора точки <tex>b</tex>.
|proof=
Рассмотрим точку <tex>b + \overrightarrow{l}</tex>, тогда <tex>\sum \lambda_i a_i = b + \overrightarrow{l} +\sum \lambda_i \overrightarrow{(a_i - (b+l))} = b +\sum \lambda_i \overrightarrow{(a_i - b)} + \overrightarrow{l} - \sum \lambda_i \overrightarrow{l} = </tex><tex> b +\sum \lambda_i \overrightarrow{(a_i - b)}+ \overrightarrow{l}(1 - \sum \lambda_i) = b +\sum \lambda_i \overrightarrow{(a_i - b)}</tex> 
}}

Также рассматривают понятие аффинной независимости точек (например, три точки на одной прямой аффинно зависимы).
Набор <math>\{a_i\}_{i=0}^{k}</math> точек называется аффинно (не-)зависимым, если линейно (не-)зависим набор векторов <math>\{\overrightarrow{a_i - a_0}\}_{i=1}^{k}</math>.