Изменения

[[Файл:samplesHalfspaces.png|400px|thumb|right|Пересечение существует и выпукло, неограничено неограниченно или пусто]][[Файл:halfSpaces.png|400px|thumb|right|Нужна ли нам верхняя полуплоскость?]]

== Предикат трех прямых ==Задача: есть конечное множество полуплоскотейполуплоскостей, найти фигуру их пересечения или сообщить что оно пусто.

Для начала заметим, что если пересечение не пусто, то оно выпукло. (Доказательство {{---}} Пересечение выпуклых фигур выпукло, а полуплоскоть полуплоскость выпукла)

Пусть у нас прямые полуплоскости заданы уравнениями вида прямых и ориентацией, с какой стороны от прямой лежит полуплоскость. Сначала рассмотрим все полуплоскости, которые "смотрят", то есть ориентированны, вниз. Аналогично можно рассмотреть все полуплоскости, которые ориентированны вверх. {{Лемма|statement=[[Файл:halfSpaces.png|400px|thumb|right|Нужна ли полуплоскость <tex> Ax + By + C = 0 l'' </tex>. Тогда предикат?]]Предикат проверки (см. рисунок) проверки того, что прямая <tex> l'' : A''x + B''y + C'' = 0 </tex> лежит над пересечением прямых <tex> l : Ax + By + C = 0 </tex> и <tex> l' : A'x + B'y + C' = 0 </tex> будет равен знаку определителя <tex>

|proof=Докажем это. Для проверки предиката нам надо нужно определить знак выражения <tex> A''x_0 + B''y_0 + C'' </tex>, где <tex> (x_0, y_0) </tex> {{---}} точка пересечения прямых <tex> l' </tex> и <tex> l </tex>. Эту точку можно найти Эта точка находится из уравнения <tex> \begin{pmatrix}

</tex>. Подставим его это решение в <tex> A''x_0 + B''y_0 + C'' </tex> и домножим на определитель. <tex>A'' \left<(B'; -B);(-C; -C')\right> + B'' \left<(-A'; A);(-C; -C')\right> + C'' \begin{vmatrix} A & B \\ A' & B' \end{vmatrix} =</tex> <tex>= A'' \begin{vmatrix} B' & B \\ -C' & -C \end{vmatrix} - B'' \begin{vmatrix} A' & A \\ -C' & -C \end{vmatrix} + C'' \begin{vmatrix} A & A' \\ B & B' \end{vmatrix} =</tex>

<tex> A'' (B'; -B)(-C; -C') + B'' (-A'; A)(-C; -C') + C \begin{vmatrix} A & B \\ A' & B' \end{vmatrix} = A'' \begin{vmatrix} B' & B \\ -C' & -C \end{vmatrix} - B'' \begin{vmatrix} A' & A \\ -C' & -C \end{vmatrix} + - C'' \begin{vmatrix} A ' & A' \\ B ' & B' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A'' & A' & A \\ B'' & B' & B \\ -C'' & -C' & -C \end{vmatrix} =</tex><tex>= \begin{vmatrix} A & B & C \\ A' & B' & C' \\ A'' & B'' & C'' \end{vmatrix} </tex>}}

Таким образом , если представить прямую <tex> Ax + By + C = 0 </tex> как точку с однородными координатами <tex> (A, B, C) </tex>, где <tex> C </tex> {{---}} однородная координата, то этот предикат {{---}} всего лишь поворот, а проверка предиката {{---}} проверка очередной точки в [[Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull#Алгоритм Грэхема|обходе Грэхема]] для нахождения выпуклой оболочки.

* То же самое Запустить обход Грэхема для полуплоскостей, смотрящих вверх;* Объединить Пересечь две цепочки.

Рассмотрим отображение <tex> D </tex> между точками планарный случай и прямымипредположим, такое что:вертикальные и параллельные прямые отсутствуют (в конце приведем два способа решения данной проблемы).

Пусть у нас есть множество ориентированных прямых, каждая из которых задает полуплоскость(направление вектора нормали задаёт нужную полуплоскость).Тогда каждую плоскость мы можем превратить в точку в двойственном пространстве: <tex> D(P(kp_x, bp_y)\Rightarrow P^\star (p_x x - p_y) = </tex>. Далее воспользуемся основными свойствами дуальной трансформации (Y = kX см. доказательтсво в конспекте о [[двойственное пространство|двойственном прострастве]]):#<tex>p</tex> <tex>\in</tex> <tex>l</tex> <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>l^\star</tex> <tex>\in</tex> <tex>p^\star</tex>, где <tex>p</tex> - точка в исходном пространстве, <tex>l</tex> - прямая в исходном пространстве, <tex>l^\star</tex>, <tex>p^\star</tex> - b) их дуальное отображение.#<tex>p</tex> лежит "над" <tex>l</tex> <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>l^\star</tex> лежит "над" <tex>p^\star</tex>

Это отображение не рассматривает вертикальные прямые'''Важно 2:''' * <tex>p^\star</tex> - точка в двойственном пространстве, <tex>p</tex> - линия в исходном,* <tex>l^\star</tex> - прямая в двойственном пространстве, <tex>l</tex> - точка в исходном,* Значок <tex>*</tex> означает, что элемент из двойственного пространства.Рассмотрим множество точек(<tex>P^\star</tex>) в двойственном пространстве и рассмотрим верхнюю часть выпуклой оболочки, поэтому их построенной на этих точках. Обозначим её за <tex>\mathcal{UH}</tex>(Upper hull). Далее мы рассмотрим будем работать только с прямыми(в конце отдельноисходном пространстве), у которых вектор нормали направлен вниз, т.е они образовывают верхнюю цепочку.По свойству выпуклой оболочки, любое ребро из цепи <tex>\mathcal{UH}</tex> содержит "ниже" себя все точки множества <tex>P^\star</tex>, а так же эта цепь соединяет самую правую точку с самой левой.

[[Файл:dual.png|400px|thumb|right|Совпадение верхнего CH Рассмотрим какую-то точку <tex>p^\star \in P^\star</tex> и нижней огибающей]]Будем обозначатьзаметим, что она будет принадлежать цепи <tex> D\mathcal{UH}</tex> <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>\exists</tex> прямая <tex>l^\star </tex> : <tex>p^\star \in l^\star</tex> и все точки из <tex>P^\star</tex> лежат ниже <tex>l^\star</tex> (pсейчаc мы жили в двойственном пространстве) = . В обычном пространстве данный факт эквивалентен следующему: *Дуальное отображение точки <tex>p^* \star</tex> в базовое пространство {{---}} прямая <tex>p</tex>, которая по ''первому свойству'' содержит точку <tex> Dl</tex>(lв базовом пространстве прямая <tex>p^\star</tex> перешла в точку <tex>p</tex>) = .*Так как прямая <tex>l^* \star</tex> лежит выше всех точек, то теперь каждая прямая из <tex>P</tex> лежит выше точки <tex>l</tex> (по свойству 2).

Факт дуализмаИтого:* Точка <tex> p </tex> лежит под/на/над прямой у нас есть точка <tex> l </tex> тогда и только тогда, когда <tex> D(l) </tex> лежит под/на/над прямой <tex> D(p) </tex>;Тогда точка , лежащая ниже всех остальных прямых из <tex> p \in P = \cup p_i </tex> принадлежит <tex> UH(P) </tex> тогда и только тогда, когда существует такая не вертикальная прямая <tex> l </tex>, что <tex> \forall i : p_i </tex> лежит под <tex> l </tex>.

Перефразируем для dual-пространства:* Существует точка Посмотрим на планарный граф множества(рис.2) прямых. Из факта выше, мы можем понять, что <tex> l^* p</tex> на прямой внесла ребро в самый нижний фейс(именно тот, который задаёт часть пересечения полуплоскостей). Обозначим цепочку данного фейса, как <tex> p^* \in P^* : l^* mathcal{LE}</tex> лежит под любой прямой . Математически данную цепочку мы можем описать, как минимум из всех линейных функция (заданные прямыми) в <tex> P^*</tex>. Так же <tex>X</tex> компонента узлов этой цепочки монотонно возрастает.

Рассмортим верхний конвекс-халл точек Вернемся к <tex> P \mathcal{UH}</tex> (англ. ''upper convex hull'') и нижнюю огибающей прямых заметим, что при обходе цепи, координата <tex> P^* X</tex> (англ. ''lower envelope'')точек растет. Точки в Если же мы будет обходить цепочку из <tex> P </tex> появляются в , образующую пересечение полуплоскостей, мы заметим, что наклон прямых уменьшается. Учитывая этот факт, и то что наклон линии из <tex> UH(P) \mathcal{LE}</tex> по увелечению х-координаты. Прямые в совпадет с <tex> P^* X</tex> появляются в <tex> LE координатой точки (P^*вспоминаем отображение и применяем производную) </tex> по уменьшению угла наклона. Так как угол наклона соответствует х-координате, то список можно сделать вывод, что обход слева направо точек из цепи <tex> \mathcal{UH(P) }</tex> слева-направо соответствует списку справа-налево ребер , совпадает с обходом точек из <tex> \mathcal{LE(P^*) }</tex>. Таким образом верхний конвекс-халл соответствует нижней огибающей прямых. Аналогично для нижнего СН и верхней огибающейсправа налево.

Более формально: точки <tex> p(Обе линии монотоны, q \in P : pq </tex> {{---}} ребро верхнего конвекс-халла тогда и только тогдаодна возрастает, когда все остальные точки из <tex> P </tex> лежат ниже прямойдругая убывает. Количество точек в массиве одинаковое, проходящей через при это ребро. В dual-пространстве получаем, что каждая точка из <tex> \forall r^*, r \in P \setminus \mathcal{p, q\UH} </tex> лежат над точкой пересечения <tex> p^* </tex> и <tex> q^* </tex>. Это как раз условие, что внесла вклад в <tex> p^* \cap q^* </tex> mathcal{{---}LE} вершина </tex> LE(P^*) </tex>.

Таким образом получаем алгоритм:* Считаем Напоследок, cоседние точки <tex>p^\star</tex> и <tex> H_+ q^\star</tex>. (полуплоскости, смотрящие вверх)* Считаем из <tex>P^\star</tex> H_образуют какое- то или принадлежат какому-то ребру <tex>\mathcal{UH}</tex> <tex>\Leftrightarrow</tex> все точки из <tex>P^\star</tex>. (полуплоскостилежат "ниже" линии, смотрящие вниз)* Считаем построенной на точках <tex>p^\star</tex> H_и <tex> q^\star</tex>. (вертикальные полуплоскости, смотрящие направо)* Считаем В исходном пространстве это означает: все прямые из пространства <tex>P</tex> за исключением прямых <tex>p</tex> и <tex>q</tex> лежат над пересечением <tex>p</tex> H_и < tex>q</tex>. (вертикальные полуплоскостиЭто достаточное условие, смотрящие налево)* Пускаем заметающую вертикальную прямую что пересечение <tex>p</tex> и получаем пересечение <tex> H_+ q</tex> <tex>\cap H_- \cap H_in</tex> <tex> \cap H_< mathcal{LE}</tex>.Стоит уточнитьТаким образом мы построили верхнее пересечение полуплоскостей. Аналогичным образом строится нижнее, что каждое из этих множеств может быть пустозатем мы пересекаем полученные две цепочки. Тогда мы не рассматриваем }}Что же делать с ним объединениевертикальными линиями?# Найдем все вертикальным прямые за <tex>O(N)</tex>. Однако в результате мы можем получить пустое множествоВозьмем самую правую, у которой нормаль смотрит вправо, и самую левую, у которых нормаль смотрит влево. Это главное отличние пересечения полуплоскостей Построим верхнюю цепь и нижнюю цепь без всех вертикальных прямых, затем пересечем верхнюю цепь, нижнюю цепь, самую правую и конвекс-халласамую левую вертикальную прямую.# Перейдем в однородное двойственное пространство.