Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
м
Строка 1: Строка 1:
 
[[Файл:samplesHalfspaces.png|400px|thumb|right|Пересечение существует и выпукло, неограничено или пусто]]
 
[[Файл:samplesHalfspaces.png|400px|thumb|right|Пересечение существует и выпукло, неограничено или пусто]]
[[Файл:halfSpaces.png|400px|thumb|right|Предикат]]
+
[[Файл:halfSpaces.png|400px|thumb|right|Нужна ли нам верхняя полуплоскость?]]
  
 
Задача: есть конечное множество полуплоскотей, найти фигуру их пересечения или сообщить что оно пусто.
 
Задача: есть конечное множество полуплоскотей, найти фигуру их пересечения или сообщить что оно пусто.
Строка 6: Строка 6:
 
Для начала заметим, что если пересечение не пусто, то оно выпукло. (Доказательство {{---}} Пересечение выпуклых фигур выпукло, а полуплоскоть выпукла)
 
Для начала заметим, что если пересечение не пусто, то оно выпукло. (Доказательство {{---}} Пересечение выпуклых фигур выпукло, а полуплоскоть выпукла)
  
Пусть у нас прямые заданы уравнениями вида <tex> Ax + By + C = 0 </tex>. Тогда предикат проверки того, что прямая <tex> A''x + B''y + C'' = 0 </tex> лежит над пересечением прямых <tex> Ax + By + C = 0 </tex> и <tex> A'x + B'y + C' = 0 </tex> будет равен <math>\begin{vmatrix} A & B & C \\ A' & B' & C' \\ A'' & B'' & C'' \end{vmatrix}</math>
+
Пусть у нас прямые заданы уравнениями вида <tex> Ax + By + C = 0 </tex>. Тогда предикат проверки того, что прямая <tex> l'' : A''x + B''y + C'' = 0 </tex> лежит над пересечением прямых <tex> l : Ax + By + C = 0 </tex> и <tex> l' : A'x + B'y + C' = 0 </tex> будет равен <tex>\begin{vmatrix} A & B & C \\ A' & B' & C' \\ A'' & B'' & C'' \end{vmatrix}</tex>.
 
 
  
 +
Давайте это покажем. Нам надо определить знак <tex> Ax_0 + By_0 + C </tex>, где <tex> (x_0, y_0) </tex> {{---}} точка пересечения прямых <tex> l' </tex> и <tex> l </tex>
  
  

Версия 19:16, 3 апреля 2014

Пересечение существует и выпукло, неограничено или пусто
Нужна ли нам верхняя полуплоскость?

Задача: есть конечное множество полуплоскотей, найти фигуру их пересечения или сообщить что оно пусто.

Для начала заметим, что если пересечение не пусто, то оно выпукло. (Доказательство — Пересечение выпуклых фигур выпукло, а полуплоскоть выпукла)

Пусть у нас прямые заданы уравнениями вида [math] Ax + By + C = 0 [/math]. Тогда предикат проверки того, что прямая [math] l'' : A''x + B''y + C'' = 0 [/math] лежит над пересечением прямых [math] l : Ax + By + C = 0 [/math] и [math] l' : A'x + B'y + C' = 0 [/math] будет равен [math]\begin{vmatrix} A & B & C \\ A' & B' & C' \\ A'' & B'' & C'' \end{vmatrix}[/math].

Давайте это покажем. Нам надо определить знак [math] Ax_0 + By_0 + C [/math], где [math] (x_0, y_0) [/math] — точка пересечения прямых [math] l' [/math] и [math] l [/math]




Рассмотрим отображение [math] D [/math] между точками и прямыми, такое что:

[math] D(P(k, b)) = (Y = kX - b) [/math]

[math] D(Y = kX + b) = P(k, -b) [/math]

Это отображение не рассматривает вертикальные прямые, поэтому их мы рассмотрим в конце отдельно.

Совпадение верхнего CH и нижней огибающей

Будем обозначать, что [math] D(p) = p^* [/math], [math] D(l) = l^* [/math]

Факт дуализма:

  • Точка [math] p [/math] лежит под/на/над прямой [math] l [/math] тогда и только тогда, когда [math] D(l) [/math] лежит под/на/над прямой [math] D(p) [/math];

Тогда точка [math] p \in P = \cup p_i [/math] принадлежит [math] UH(P) [/math] тогда и только тогда, когда существует такая не вертикальная прямая [math] l [/math], что [math] \forall i : p_i [/math] лежит под [math] l [/math].

Перефразируем для dual-пространства:

  • Существует точка [math] l^* [/math] на прямой [math] p^* \in P^* : l^* [/math] лежит под любой прямой из [math] P^*[/math].

Рассмортим верхний конвекс-халл точек [math] P [/math] (англ. upper convex hull) и нижнюю огибающей прямых [math] P^* [/math] (англ. lower envelope). Точки в [math] P [/math] появляются в [math] UH(P) [/math] по увелечению х-координаты. Прямые в [math] P^* [/math] появляются в [math] LE(P^*) [/math] по уменьшению угла наклона. Так как угол наклона соответствует х-координате, то список точек [math] UH(P) [/math] слева-направо соответствует списку справа-налево ребер [math] LE(P^*) [/math]. Таким образом верхний конвекс-халл соответствует нижней огибающей прямых. Аналогично для нижнего СН и верхней огибающей.

Более формально: точки [math] p, q \in P : pq [/math] — ребро верхнего конвекс-халла тогда и только тогда, когда все остальные точки из [math] P [/math] лежат ниже прямой, проходящей через это ребро. В dual-пространстве получаем, что [math] \forall r^*, r \in P \setminus \{p, q\} [/math] лежат над точкой пересечения [math] p^* [/math] и [math] q^* [/math]. Это как раз условие, что [math] p^* \cap q^* [/math] — вершина [math] LE(P^*) [/math].

Таким образом получаем алгоритм:

  • Считаем [math] H_+ [/math]. (полуплоскости, смотрящие вверх)
  • Считаем [math] H_- [/math]. (полуплоскости, смотрящие вниз)
  • Считаем [math] H_\gt [/math]. (вертикальные полуплоскости, смотрящие направо)
  • Считаем [math] H_\lt [/math]. (вертикальные полуплоскости, смотрящие налево)
  • Пускаем заметающую вертикальную прямую и получаем пересечение [math] H_+ \cap H_- \cap H_\gt \cap H_\lt [/math]

Стоит уточнить, что каждое из этих множеств может быть пусто. Тогда мы не рассматриваем с ним объединение. Однако в результате мы можем получить пустое множество. Это главное отличние пересечения полуплоскостей и конвекс-халла.

Источники