Редактирование: Перечислимые языки

== Основные определения ==
{{Определение
|definition =
'''Полуразрешимый язык''' (англ. ''semi-decidable language'') {{---}} язык, для которого существует программа <tex>p</tex> такая, что
* <tex>\forall x \in L \Leftrightarrow p(x)=1</tex>,
* <tex>\forall x \notin L \Leftrightarrow p(x)=0</tex> или зависнет.
}}

{{Определение
|definition =
'''Перечислимый язык''' (англ. ''recursively enumerable language'') {{---}} язык, для которого существует программа <tex>g</tex> такая, что <tex>g(i) = x_i, L = \{x_1, x_2, .., x_n, ..\}</tex>. Язык <tex>L</tex> называется '''коперечислимым''' (англ. ''co-enumerable''), если <tex>\overline L</tex> {{---}} перечислимый. Класс всех перечислимых языков называется <tex> \mathrm{RE} </tex>, а всех коперечислимих <tex> \mathrm{co}</tex>-<tex>\mathrm{RE}</tex> .
}}

{{Определение
|definition =
Пусть имеется некоторая программа <tex>p</tex>, которая может либо завершиться за конечное время и что-то вернуть, либо зависнуть. Запуск программы <tex>p</tex> с '''тайм-лимитом''' (англ. ''time limit'') <tex>TL</tex> будем обозначать как <tex>p|_{TL}</tex> и иметь в виду следующее: если за <tex>TL</tex> операций программа <tex>p</tex> корректно завершилась и что-то вернула, то <tex>p|_{TL}</tex> вернёт то же самое; если же за <tex>TL</tex> операций программа <tex>p</tex> не успела завершиться, то <tex>p|_{TL}</tex> вернёт <tex>\bot</tex> (символ зависания).
}}

{{Теорема
|id=th1
|statement=
<tex>L</tex> {{---}} перечислимый <tex>\Leftrightarrow L</tex> {{---}} полуразрешимый.
|proof=
<tex> \Longrightarrow </tex>

: Пусть <tex>L</tex> {{---}} перечислимый язык. Тогда для него существует программа <tex>g</tex>, которая по номеру <tex>i</tex> выводит слово из <tex>L</tex>. Значит, для  всех <tex>x</tex> из <tex>L</tex> путем перебора значений функции <tex>g</tex> мы можем найти такое <tex>i</tex>, что <tex> g(i) = x</tex>.  Следовательно, существует программа <tex>p</tex>, такая, что <tex>\forall x: x \in L \Leftrightarrow p(x)=1</tex>. Тогда <tex>L</tex> является полуразрешимым языком.

 '''function''' p(x: '''int'''): '''int'''
   '''for''' i = 1 '''to''' <tex>\infty</tex>
     '''if'''  g(i) == x
       '''return''' 1

<tex> \Longleftarrow </tex>
:Пусть <tex>L</tex> {{---}} полуразрешимый язык. Тогда для него существует программа <tex>p</tex>, результат которой равен <tex>1</tex> для любого слова из <tex>L</tex>. Чтобы программа <tex>p</tex> не зависала на словах, которые не принадлежат <tex>L</tex>, будем запускать ее с тайм-лимитом. Для поиска <tex>i</tex>-го слова из языка <tex>L</tex> будем перебирать <tex>k</tex> {{---}} тайм-лимит с которым будем запускать программу <tex>p</tex>. Таким образом существует программа <tex>g_0</tex>, которая выводит <tex>i</tex> слово языка <tex>L</tex> с повторениями. Для того, чтобы выводить слова без повторений, заведем множество <tex>U</tex>, в котором будем хранить уже выведенные слова. Программа <tex>g</tex> доказывает, что <tex>L</tex> является перечислимым языком.
: 
 
 '''function''' <tex>g_0</tex>(i: '''int'''): '''int'''
   cnt = 0
   '''for''' k = 1 '''to''' <tex> \infty</tex>
     '''for''' x <tex>\in \{x_1, x_2, .., x_k\}</tex>
       '''if''' <tex> p|_k</tex>(x) == 1
         cnt++
       '''if''' cnt == i
         '''return''' x

 '''function''' <tex>g</tex>(i: '''int'''): '''int'''
   <tex>U = \emptyset</tex>
   '''for''' j = 1 '''to''' <tex>\infty</tex>
     x = <tex> g_0</tex>(j)
     '''if''' x <tex>\notin</tex> <tex>U</tex>
       cnt++
     '''if''' cnt == i
       '''return''' x
     U.insert(x)

.
}}

{{Теорема
|id=th2
|statement=
Любой [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки | разрешимый язык]] <tex>L</tex> является перечислимым.
|proof= 
Любой разрешимый язык <tex>L</tex> является полуразрешимым. Так как любой полуразрешимый язык является перечислимым, то <tex>L</tex> является перечислимым.
}}

{{Теорема
|statement=
<tex>L</tex> {{---}} перечислим и коперечислим <tex>\Rightarrow</tex> <tex>L</tex> {{---}} [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки|разрешим]].
|proof=
Рассмотрим полуразрешители для <tex>L</tex> и <tex>\overline L</tex> и одновременно запустим их для одного и того же элемента <tex>x</tex>. <tex>x</tex> принадлежит либо <tex> L </tex>, либо <tex>\overline{L}</tex>, поэтому один из полуразрешителей успешно отработает и не зависнет. Значит, мы за конечное время узнаем, лежит ли <tex>x</tex> в <tex>L</tex> или нет. Таким образом, мы построили разрешитель для <tex>L</tex>, то есть <tex>L</tex>  {{---}} разрешимый.
}}
== Примеры перечислимых языков ==

{{Утверждение
|id=st1
|statement=
Язык натуральных чисел перечислим.
|proof=
Приведём программу, перечисляющую язык натуральных чисел:

 '''function''' p(i: '''int'''): '''int'''
   '''return''' i
'''''}}

{{Утверждение
|id=st2
|statement=
Язык чётных неотрицательных чисел перечислим.
|proof=
Приведём программу, перечисляющую язык чётных неотрицательных чисел:

 '''function'''  p(i: '''int'''): '''int'''
   '''return''' i * 2
'''''}}

== Примеры коперечислимых языков ==

{{Утверждение
|id=st2
|statement=
Язык нечётных неотрицательных чисел коперечислим.
|proof=
<tex>\overline L</tex> {{---}} язык чётных неотрицательных чисел. Так как язык чётных неотрицательных чисел перечислим, то и язык нечётных неотрицательных чисел тоже перечислим.

}}
{{Утверждение
|id=st2
|statement=
Язык простых чисел коперечислим.
|proof=
Пусть <tex>L</tex> {{---}} язык простых чисел, тогда <tex>\overline L</tex> {{---}} язык, состоящий из составных чисел и единицы. Покажем, что <tex>\overline L</tex> полуразрешим, а, следовательно, и перечислим согласно теореме, приведённой выше.

Построим простой полуразрешитель:

 '''function''' p(n: '''int'''): '''int'''
   '''for''' i = 2 '''to''' <tex>\lceil \sqrt{n} \rceil</tex>
     '''if''' n mod i == 0
        '''return''' 0
   '''return''' 1
'''''}}

== Примеры неперечислимых языков ==

{{Утверждение
|id=st2
|statement=
Язык пар <tex>\langle n, bb(n)\rangle</tex> неперечислим.
|proof=
Функция [[Busy_beaver | busy beaver]] <tex>bb(n)</tex> {{---}} невычислима, следовательно такой язык неперечислим.
}}

== См. также ==

* [[Разрешимые (рекурсивные) языки]]
* [[Замкнутость разрешимых и перечислимых языков относительно теоретико-множественных и алгебраических операций]]

== Источники информации ==
* Н. К. Верещагин,  А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. {{---}} М.: МЦНМО, 1999. С. 134. ISBN 5-900916-36-7
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Recursively_enumerable_language Wikipedia {{---}} Recursively enumerable language]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D1%8B%D0%B9_%D1%8F%D0%B7%D1%8B%D0%BA Википедия {{---}} Рекурсивно перечислимый язык]

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Разрешимые и перечислимые языки]]