Изменения

'''Полуразрешимый язык''' <tex>(англ. ''semi-decidable language'') {{---</tex> }} язык, для которого существует программа <tex>p</tex> такая, что * <tex>\forall x \in L \Leftrightarrow p(x)=1</tex>,* <tex>\forall x \notin L \Leftrightarrow p(x)=0</tex> или зависнет.

'''Перечислимый язык''' <tex>(англ. ''recursively enumerable language'') {{---</tex> }} язык, для которого существует программа <tex>g</tex> такая, что <tex>g(i) = x_i, L = \{x_1, x_2, .., x_n, ..\}</tex>. Язык <tex>L</tex> называется '''коперечислимым''' (англ. ''co-enumerable''), если <tex>\overline L</tex> {{---}} перечислимый. Класс всех перечислимых языков называется <tex> \mathrm{RE} </tex>, а всех коперечислимих <tex> \mathrm{co}</tex>-<tex>\mathrm{RE}</tex>.

Пусть имеется некоторая программа <tex>p</tex>, которая может либо завершиться за конечное время и что-то вернуть, либо зависнуть. Тогда запуск Запуск программы <tex>p</tex> с '''тайм-лимитом ''' (англ. ''time limit'') <tex>TL</tex> будем обозначать как <tex>p|_{TL}</tex> и иметь в виду следующее: если за <tex>TL</tex> операций программа <tex>p</tex> корректно завершилась и что-то вернула, то <tex>p|_{TL}</tex> вернет вернёт то же самое; если же за <tex>TL</tex> операций программа <tex>p</tex> не успела завершиться, то <tex>p|_{TL}</tex> вернет вернёт <tex>\bot</tex> (специально зарезервированное значениесимвол зависания).

<tex>L-</tex> {{---}} перечислимый <tex>\Leftrightarrow L-</tex> {{---}} полуразрешимый.

Пусть <tex>L-</tex> перечислимый.:<tex>p(x):</tex>:: <tex>for ~ i = 1 ~ .. ~ \infty</tex>::: <tex>if ~ g(i) = x</tex>:::: <tex>return ~ 1</tex>Пусть <tex>L-</tex> полуразрешимый.:<tex>g_0(i):</tex>::<tex>cnt = 0</tex>:: <tex>for ~ k = 1 ~ .. ~ \infty</tex>::: <tex>for ~ x \in \{x_1, x_2, .., x_k\}</tex>:::: <tex>if ~ p|_k(i) = 1</tex>::::: <tex>cnt++</tex>:::: <tex>if ~ cnt = i</tex>::::: <tex>return ~ xLongrightarrow </tex>

:Пусть <tex>L</tex> {{---}} перечислимый язык. Тогда для него существует программа <tex>g</tex>, которая по номеру <tex>i</tex> выводит слово из <tex>L</tex>. Значит, для всех <tex>x</tex> из <tex>L</tex> путем перебора значений функции <tex>g</tex> мы можем найти такое <tex>i</tex>, что <tex>g(i)= x</tex>. Следовательно, существует программа <tex>p</tex>, такая, что <tex>\forall x:x \in L \Leftrightarrow p(x)=1</tex>. Тогда <tex>L</tex>является полуразрешимым языком.  '''function''' p(x:'''int'''):'''int''' '''for''' i = 1 '''to''' <tex>U \infty</tex> '''if''' g(i) == x '''return''' 1 <tex> \emptysetLongleftarrow </tex>:: Пусть <tex>L</tex> {{---}} полуразрешимый язык. Тогда для него существует программа <tex>p</tex>, результат которой равен <tex>for ~ j = 1 ~ </tex> для любого слова из <tex>L</tex>. Чтобы программа <tex>p</tex> не зависала на словах, которые не принадлежат <tex>L</tex>, будем запускать ее с тайм-лимитом. Для поиска <tex>i</tex>-го слова из языка <tex>L</tex> будем перебирать <tex>k</tex> {{---}} тайм-лимит с которым будем запускать программу <tex>p</tex>.Таким образом существует программа <tex>g_0</tex>, которая выводит <tex>i</tex> слово языка <tex>L</tex> с повторениями. ~ \inftyДля того, чтобы выводить слова без повторений, заведем множество <tex>U</tex>, в котором будем хранить уже выведенные слова. Программа <tex>g</tex> доказывает, что <tex>L</tex>является перечислимым языком.: '''function''' <tex>g_0</tex>(i:'''int'''): '''int''' cnt = 0 '''for''' k = 1 '''to''' <tex>x \leftarrow g_0(j)infty</tex>:::: '''for''' x <tex>if ~ x \notin Uin \{x_1, x_2, .., x_k\}</tex>::::: '''if''' <tex> p|_k</tex>(x) == 1 cnt++ '''if''' cnt == i '''return''' x  '''function''' <tex>g</tex>:::(i:'''int'''): '''int''' <tex>if ~ cnt U = i\emptyset</tex>:::::: '''for''' j = 1 '''to''' <tex>return ~ \infty</tex> x= <tex> g_0</tex>(j)::::: '''if''' x <tex>\notin</tex> <tex>U.insert(x)</tex>Приведённые программы доказывают эквивалентность определений cnt++ '''if''' cnt == i '''return''' x U.insert(x)'''''}}

Любой [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки | разрешимый язык ]] <tex>L</tex> является перечислимым.

Любой разрешимый язык <tex>L</tex> является полуразрешимым. А так Так как любой полуразрешимый язык является перечислимым, то <tex>L</tex> является перечислимым.}} {{Теорема|statement=<tex>L</tex> {{---}} перечислим и коперечислим <tex>\Rightarrow</tex> <tex>L</tex> {{---}} [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки|разрешим]].|proof=Рассмотрим полуразрешители для <tex>L</tex> и <tex>\overline L</tex> и одновременно запустим их для одного и того же элемента <tex>x</tex>. <tex>x</tex> принадлежит либо <tex> L </tex>, либо <tex>\overline{L}</tex>, поэтому один из полуразрешителей успешно отработает и не зависнет. Значит, мы за конечное время узнаем, лежит ли <tex>x</tex> в <tex>L</tex> или нет. Таким образом, мы построили разрешитель для <tex>L</tex>, то есть <tex>L</tex> {{---}} разрешимый .}} == Примеры перечислимых языков == {{Утверждение|id=st1|statement=Язык натуральных чисел перечислим.|proof=Приведём программу, перечисляющую язык натуральных чисел:  '''function''' p(i: '''int'''): '''int''' '''return''' i'''''}} {{Утверждение|id=st2|statement=Язык чётных неотрицательных чисел перечислим.|proof=Приведём программу, перечисляющую язык чётных неотрицательных чисел:  '''function''' p(i: '''int'''): '''int''' '''return''' i * 2'''''}} == Примеры коперечислимых языков == {{Утверждение|id=st2|statement=Язык нечётных неотрицательных чисел коперечислим.|proof=<tex>\overline L</tex> является перечислимым{{---}} язык чётных неотрицательных чисел. Так как язык чётных неотрицательных чисел перечислим, то и язык нечётных неотрицательных чисел тоже перечислим.