Изменения

<tex>L</tex> {{---}} перечислимый <tex>\Leftrightarrow L</tex> {{---}} полуразрешимый.

|proof=

: Пусть <tex>L</tex> {{---}} перечислимый язык. Тогда для него существует программа <tex>g</tex>, которая по номеру <tex>i</tex> выводит слово из <tex>L</tex>. Значит, для всех <tex>x</tex> из <tex>L</tex> путем перебора значений функции <tex>g</tex> мы можем найти такое <tex>i</tex>, что <tex> g(i) = x</tex>. Следовательно, существует программа <tex>p</tex>, такая, что <tex>\forall x: x \in L \Leftrightarrow p(x)=1</tex>. Тогда <tex>L</tex> является полуразрешимым языком.

'''function''' p(x: '''int'''): '''int'''

'''if''' g(i) == x

:Пусть <tex>L</tex> {{---}} полуразрешимый язык. Тогда для него существует программа <tex>p</tex>, результат которой равен <tex>1</tex> для любого слова из <tex>L</tex>. Чтобы программа <tex>p</tex> не зависала на словах, которые не принадлежат <tex>L</tex>, будем запускать ее с тайм-лимитом. Для поиска <tex>i</tex>-го слова из языка <tex>L</tex> будем перебирать <tex>k</tex> {{---}} тайм-лимит с которым будем запускать программу <tex>p</tex>. Таким образом существует программа <tex>g_0</tex>, которая выводит <tex>i</tex> слово языка <tex>L</tex> с повторениями. Для того, чтобы выводить слова без повторений, заведем множество <tex>U</tex>, в котором будем хранить уже выведенные слова. Программа <tex>g</tex> доказывает, что <tex>L</tex> является перечислимым языком.

'''function''' <tex>g_0</tex>(i: '''int'''): '''int'''

cnt = 0

'''for''' x <tex>\in \{x_1, x_2, .., x_k\}</tex>

'''if''' <tex> p|_k</tex>(x) == 1

'''if''' cnt == i

'''return''' x

'''function''' <tex>g</tex>(i: '''int'''): '''int'''

<tex>U = \emptyset</tex>

x = <tex> g_0</tex>(j)

cnt++

'''if''' cnt == i

'''return''' x

U.insert(x)

{{Теорема

Рассмотрим полуразрешители для <tex>L</tex> и <tex>\overline L</tex> и одновременно запустим их для одного и того же элемента <tex>x</tex>. <tex>x</tex> принадлежит либо <tex> L </tex>, либо <tex>\overline{L}</tex>, поэтому один из полуразрешителей успешно отработает и не зависнет. Значит, мы за конечное время узнаем, лежит ли <tex>x</tex> в <tex>L</tex> или нет. Таким образом, мы построили разрешитель для <tex>L</tex>, то есть <tex>L</tex> {{---}} разрешимый.

}}

== Примеры перечислимых языков ==

|proof=

Приведём программу, перечисляющую язык натуральных чисел:

'''return''' i

{{Утверждение

|proof=

Приведём программу, перечисляющую язык чётных неотрицательных чисел:

'''function''' p(i: '''int'''): '''int'''

'''return''' i * 2

== Примеры коперечислимых языков ==

Язык нечётных неотрицательных чисел коперечислим.

|proof=

}}

Язык простых чисел коперечислим.

|proof=

Построим простой полуразрешитель:

'''function''' p(n: '''int'''): '''int'''

'''if''' n mod i == 0

'''return''' 0

'''return''' 1

== Примеры неперечислимых языков ==

Функция [[Busy_beaver | busy beaver]] <tex>bb(n)</tex> {{---}} невычислима, следовательно такой язык неперечислим.

}}

== Источники информации ==

[[Категория: Теория формальных языков]]

[[Категория: Теория вычислимости]]