Изменения

'''Полуразрешимый язык''' <tex>(англ. ''semi-decidable language'') {{---</tex> }} язык, для которого существует программа <tex>p</tex> такая, что * <tex>\forall x \in L \Leftrightarrow p(x)=1</tex>,* <tex>\forall x \notin L \Leftrightarrow p(x)=0</tex> или зависнет.

'''Перечислимый язык''' <tex>(англ. ''recursively enumerable language'') {{---</tex> }} язык, для которого существует программа <tex>g</tex> такая, что <tex>g(i) = x_i, L = \{x_1, x_2, .., x_n, ..\}</tex>. Язык <tex>L</tex> называется '''коперечислимым''' (англ. ''co-enumerable''), если <tex>\overline L</tex> {{---}} перечислимый. Класс всех перечислимых языков называется <tex> \mathrm{RE} </tex>, а всех коперечислимих <tex> \mathrm{co}</tex>-<tex>\mathrm{RE}</tex>.

Пусть имеется некоторая программа <tex>p</tex>, которая может либо завершиться за конечное время и что-то вернуть, либо зависнуть. Тогда запуск Запуск программы <tex>p</tex> с '''тайм-лимитом ''' (англ. ''time limit'') <tex>TL</tex> будем обозначать как <tex>p|_{TL}</tex> и иметь в виду следующее: если за <tex>TL</tex> операций программа <tex>p</tex> корректно завершилась и что-то вернула, то <tex>p|_{TL}</tex> вернет вернёт то же самое; если же за <tex>TL</tex> операций программа <tex>p</tex> не успела завершиться, то <tex>p|_{TL}</tex> вернет вернёт <tex>\bot</tex> (символ зависания).

<tex>L-</tex> {{---}} перечислимый <tex>\Leftrightarrow L-</tex> {{---}} полуразрешимый.

<tex> \Longrightarrow </tex> : Пусть <tex>L-</tex> {{---}} перечислимый язык. ДокажемТогда для него существует программа <tex>g</tex>, которая по номеру <tex>i</tex> выводит слово из <tex>L</tex>. Значит, для всех <tex>x</tex> из <tex>L</tex> путем перебора значений функции <tex>g</tex> мы можем найти такое <tex>i</tex>, что он полуразрешим, приведя соответствующую программу<tex> g(i) = x</tex>. Следовательно, существует программа <tex>p</tex>, такая, что <tex>\forall x: x \in L \Leftrightarrow p(x):=1</tex>. Тогда <tex>L</tex>является полуразрешимым языком.  '''function''' p(x: '''int'''): '''int''' '''for ''' i = 1 '''to''' <tex> i = 1 ~ .. ~ \infty</tex> '''if <tex> ''' g(i) == x</tex> '''return ''' 1 <tex> 1\Longleftarrow </tex>:Пусть <tex>L-</tex> {{---}} полуразрешимый язык. ДокажемТогда для него существует программа <tex>p</tex>, результат которой равен <tex>1</tex> для любого слова из <tex>L</tex>. Чтобы программа <tex>p</tex> не зависала на словах, что он перечислимкоторые не принадлежат <tex>L</tex>, приведя соответствующую будем запускать ее с тайм-лимитом. Для поиска <tex>i</tex>-го слова из языка <tex>L</tex> будем перебирать <tex>k</tex> {{---}} тайм-лимит с которым будем запускать программу<tex>p</tex>. Таким образом существует программа <tex>g_0(</tex>, которая выводит <tex>i):</tex>слово языка <tex>L</tex> с повторениями. Для того, чтобы выводить слова без повторений, заведем множество <tex>U</tex>, в котором будем хранить уже выведенные слова. Программа <tex>g</tex> доказывает, что <tex>L</tex> является перечислимым языком. : '''function''' <tex>cnt = 0g_0</tex>(i: '''int'''): '''int''' cnt = 0 '''for ''' k = 1 '''to''' <tex> k = 1 ~ .. ~ \infty</tex> '''for ''' x <tex> x \in \{x_1, x_2, .., x_k\}</tex> '''if ''' <tex> p|_k</tex>(x) == 1</tex> <tex>cnt</tex>++ '''if <tex> ''' cnt == i</tex> '''return ''' x  '''function''' <tex> xg</tex> <tex>g(i: '''int'''):</tex>'''int'''

'''for ''' j = 1 '''to''' <tex> j = 1 ~ .. ~ \infty</tex> x = <tex>x = g_0(j)</tex>(j) '''if ''' x <tex> x \notin U</tex> <tex>cntU</tex> cnt++ '''if <tex> ''' cnt == i</tex> '''return <tex> ''' x</tex> <tex>U.insert(x)</tex>На каждой итерации цикла программы <tex>g</tex>, в множестве <tex>U</tex>, хранятся все выведенные на данный момент слова языка <tex>L</tex>.  Приведённые программы доказывают эквивалентность определений.'''''}}

Любой разрешимый язык <tex>L</tex> является полуразрешимым. А так Так как любой полуразрешимый язык является перечислимым, то разрешимый язык <tex>L</tex> является перечислимым.}} {{Теорема|statement=<tex>L</tex> {{---}} перечислим и коперечислим <tex>\Rightarrow</tex> <tex>L</tex> {{---}} [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки|разрешим]].|proof=Рассмотрим полуразрешители для <tex>L</tex> и <tex>\overline L</tex> и одновременно запустим их для одного и того же элемента <tex>x</tex>. <tex>x</tex> принадлежит либо <tex> L </tex>, либо <tex>\overline{L}</tex>, поэтому один из полуразрешителей успешно отработает и не зависнет. Значит, мы за конечное время узнаем, лежит ли <tex>x</tex> в <tex>L</tex> или нет. Таким образом, мы построили разрешитель для <tex>L</tex>, то есть <tex>L</tex> {{---}} разрешимый.

== Литература Примеры перечислимых языков == {{Утверждение|id=st1|statement=Язык натуральных чисел перечислим.|proof=Приведём программу, перечисляющую язык натуральных чисел:  '''function''' p(i: '''int'''): '''int''' '''return''' i'''''}} {{Утверждение|id=st2|statement=Язык чётных неотрицательных чисел перечислим.|proof=Приведём программу, перечисляющую язык чётных неотрицательных чисел:  '''function''' p(i: '''int'''): '''int''' '''return''' i * 2'''''}} == Примеры коперечислимых языков == {{Утверждение|id=st2|statement=Язык нечётных неотрицательных чисел коперечислим.|proof=<tex>\overline L</tex> {{---}} язык чётных неотрицательных чисел. Так как язык чётных неотрицательных чисел перечислим, то и язык нечётных неотрицательных чисел тоже перечислим. }}{{Утверждение|id=st2|statement=Язык простых чисел коперечислим.|proof=Пусть <tex>L</tex> {{---}} язык простых чисел, тогда <tex>\overline L</tex> {{---}} язык, состоящий из составных чисел и единицы. Покажем, что <tex>\overline L</tex> полуразрешим, а, следовательно, и перечислим согласно теореме, приведённой выше. Построим простой полуразрешитель:  '''function''' p(n: '''int'''): '''int''' '''for''' i = 2 '''to''' <tex>\lceil \sqrt{n} \rceil</tex> '''if''' n mod i == 0 '''return''' 0 '''return''' 1'''''}} == Примеры неперечислимых языков == {{Утверждение|id=st2|statement=Язык пар <tex>\langle n, bb(n)\rangle</tex> неперечислим.|proof=Функция [[Busy_beaver | busy beaver]] <tex>bb(n)</tex> {{---}} невычислима, следовательно такой язык неперечислим.}} == См. также == * [[Разрешимые (рекурсивные) языки]]* [[Замкнутость разрешимых и перечислимых языков относительно теоретико-множественных и алгебраических операций]] == Источники информации ==* Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. {{--- }} М.: МЦНМО, 1999. С. 134. ISBN 5-900916-36-7* [http://en.wikipedia.org/wiki/Recursively_enumerable_language Wikipedia {{---}} Recursively enumerable language]* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D1%8B%D0%B9_%D1%8F%D0%B7%D1%8B%D0%BA Википедия {{---}} Рекурсивно перечислимый язык] [[Категория: Теория формальных языков]][[Категория: Теория вычислимости]][[Категория: Разрешимые и перечислимые языки]]