Перечислимые языки — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 38 промежуточных версий 13 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
== Основные определения ==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
Перечисляющая программа для языка <tex>L</tex> - программа, по очереди выводящая все слова языка <tex>L</tex>. Если слово принадлежит языку, то программа за конечное время выдаст его на выходе. Слова, не принадлежащие языку, программа выводить не будет.
+
'''Полуразрешимый язык''' (англ. ''semi-decidable language'') {{---}} язык, для которого существует программа <tex>p</tex> такая, что
 +
* <tex>\forall x \in L \Leftrightarrow p(x)=1</tex>,
 +
* <tex>\forall x \notin L \Leftrightarrow p(x)=0</tex> или зависнет.
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
Полуразрешающая программа для языка <tex>L</tex> - программа, которая при подаче на вход слова из языка за конечное время завершится и вернет <tex>1</tex>, а при подаче на вход слова не из языка может за конечное время вернуть <tex>0</tex>, а может и зависнуть.
+
'''Перечислимый язык''' (англ. ''recursively enumerable language'') {{---}} язык, для которого существует программа <tex>g</tex> такая, что <tex>g(i) = x_i, L = \{x_1, x_2, .., x_n, ..\}</tex>. Язык <tex>L</tex> называется '''коперечислимым''' (англ. ''co-enumerable''), если <tex>\overline L</tex> {{---}} перечислимый. Класс всех перечислимых языков называется <tex> \mathrm{RE} </tex>, а всех коперечислимих <tex> \mathrm{co}</tex>-<tex>\mathrm{RE}</tex> .
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
Перечислимый язык - язык, для которого существует перечисляющая программа.
+
Пусть имеется некоторая программа <tex>p</tex>, которая может либо завершиться за конечное время и что-то вернуть, либо зависнуть. Запуск программы <tex>p</tex> с '''тайм-лимитом''' (англ. ''time limit'') <tex>TL</tex> будем обозначать как <tex>p|_{TL}</tex> и иметь в виду следующее: если за <tex>TL</tex> операций программа <tex>p</tex> корректно завершилась и что-то вернула, то <tex>p|_{TL}</tex> вернёт то же самое; если же за <tex>TL</tex> операций программа <tex>p</tex> не успела завершиться, то <tex>p|_{TL}</tex> вернёт <tex>\bot</tex> (символ зависания).
 
}}
 
}}
  
{{Определение
+
{{Теорема
|definition =
+
|id=th1
Перечислимый язык - язык, для которого существует полуразрешающая программа.
+
|statement=
 +
<tex>L</tex> {{---}} перечислимый <tex>\Leftrightarrow L</tex> {{---}} полуразрешимый.
 +
|proof=
 +
<tex> \Longrightarrow </tex>
 +
 
 +
: Пусть <tex>L</tex> {{---}} перечислимый язык. Тогда для него существует программа <tex>g</tex>, которая по номеру <tex>i</tex> выводит слово из <tex>L</tex>. Значит, для  всех <tex>x</tex> из <tex>L</tex> путем перебора значений функции <tex>g</tex> мы можем найти такое <tex>i</tex>, что <tex> g(i) = x</tex>.  Следовательно, существует программа <tex>p</tex>, такая, что <tex>\forall x: x \in L \Leftrightarrow p(x)=1</tex>. Тогда <tex>L</tex> является полуразрешимым языком.
 +
 
 +
'''function''' p(x: '''int'''): '''int'''
 +
  '''for''' i = 1 '''to''' <tex>\infty</tex>
 +
    '''if'''  g(i) == x
 +
      '''return''' 1
 +
 
 +
<tex> \Longleftarrow </tex>
 +
:Пусть <tex>L</tex> {{---}} полуразрешимый язык. Тогда для него существует программа <tex>p</tex>, результат которой равен <tex>1</tex> для любого слова из <tex>L</tex>. Чтобы программа <tex>p</tex> не зависала на словах, которые не принадлежат <tex>L</tex>, будем запускать ее с тайм-лимитом. Для поиска <tex>i</tex>-го слова из языка <tex>L</tex> будем перебирать <tex>k</tex> {{---}} тайм-лимит с которым будем запускать программу <tex>p</tex>. Таким образом существует программа <tex>g_0</tex>, которая выводит <tex>i</tex> слово языка <tex>L</tex> с повторениями. Для того, чтобы выводить слова без повторений, заведем множество <tex>U</tex>, в котором будем хранить уже выведенные слова. Программа <tex>g</tex> доказывает, что <tex>L</tex> является перечислимым языком.
 +
:
 +
 +
'''function''' <tex>g_0</tex>(i: '''int'''): '''int'''
 +
  cnt = 0
 +
  '''for''' k = 1 '''to''' <tex> \infty</tex>
 +
    '''for''' x <tex>\in \{x_1, x_2, .., x_k\}</tex>
 +
      '''if''' <tex> p|_k</tex>(x) == 1
 +
        cnt++
 +
      '''if''' cnt == i
 +
        '''return''' x
 +
 
 +
'''function''' <tex>g</tex>(i: '''int'''): '''int'''
 +
  <tex>U = \emptyset</tex>
 +
  '''for''' j = 1 '''to''' <tex>\infty</tex>
 +
    x = <tex> g_0</tex>(j)
 +
    '''if''' x <tex>\notin</tex> <tex>U</tex>
 +
      cnt++
 +
    '''if''' cnt == i
 +
      '''return''' x
 +
    U.insert(x)
 +
'''''}}
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|id=th2
 +
|statement=
 +
Любой [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки | разрешимый язык]] <tex>L</tex> является перечислимым.
 +
|proof=
 +
Любой разрешимый язык <tex>L</tex> является полуразрешимым. Так как любой полуразрешимый язык является перечислимым, то <tex>L</tex> является перечислимым.
 
}}
 
}}
  
{{Определение
+
{{Теорема
|definition =
+
|statement=
Пусть имеется некоторая программа <tex>p</tex>, которая может либо завершиться за конечное время и что-то вернуть, либо зависнуть. Тогда запуск программы <tex>p</tex> с тайм-лимитом <tex>TL</tex> будем обозначать как <tex>p|_{TL}</tex> и иметь в виду следующее: если за <tex>TL</tex> операций программа <tex>p</tex> корректно завершилась и что-то вернула, то <tex>p|_{TL}</tex> вернет то же самое; если же за <tex>TL</tex> операций программа <tex>p</tex> не успела завершиться, то <tex>p|_{TL}</tex> вернет <tex>\bot</tex> (специально зарезервированное значение).
+
<tex>L</tex> {{---}} перечислим и коперечислим <tex>\Rightarrow</tex> <tex>L</tex> {{---}} [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки|разрешим]].
 +
|proof=
 +
Рассмотрим полуразрешители для <tex>L</tex> и <tex>\overline L</tex> и одновременно запустим их для одного и того же элемента <tex>x</tex>. <tex>x</tex> принадлежит либо <tex> L </tex>, либо <tex>\overline{L}</tex>, поэтому один из полуразрешителей успешно отработает и не зависнет. Значит, мы за конечное время узнаем, лежит ли <tex>x</tex> в <tex>L</tex> или нет. Таким образом, мы построили разрешитель для <tex>L</tex>, то есть <tex>L</tex> {{---}} разрешимый.
 
}}
 
}}
  
{{Теорема
+
== Примеры перечислимых языков ==
|id=th1
+
 
 +
{{Утверждение
 +
|id=st1
 
|statement=
 
|statement=
Два определения перечислимого языка эквивалентны.
+
Язык натуральных чисел перечислим.
 
|proof=
 
|proof=
Пусть имеется перечисляющая программа для языка <tex>L</tex>, построим полуразрешающую. Сделаем это следующим образом. Получаем на вход некоторое слово <tex>w</tex>, запускаем перечисляющую программу. Если в процессе вывода слов встретится <tex>w</tex>, то завершаем работу, вернув <tex>1</tex>. Таким образом при подаче на вход слова из языка построенная программа вернет <tex>1</tex> и завершится. Если же мы подадим на вход слово не из языка, то построенная программа будет работать бесконечно долго, что вполне устраивает. Таким образом полуразрешающая программа построена.
+
Приведём программу, перечисляющую язык натуральных чисел:
  
Теперь пусть имеется полуразрешающая программа <tex>p</tex> для языка <tex>L</tex>, построим перечисляющую.
+
'''function''' p(i: '''int'''): '''int'''
 +
  '''return''' i
 +
'''''}}
  
:    for <tex>TL</tex> = <tex>1</tex> .. <tex>+\infty</tex> {
+
{{Утверждение
::    for <tex>length</tex> = <tex>1</tex> .. <tex>TL</tex> {
+
|id=st2
:::  for <tex>w \in L</tex>, <tex>|w| = length</tex> {
+
|statement=
 +
Язык чётных неотрицательных чисел перечислим.
 +
|proof=
 +
Приведём программу, перечисляющую язык чётных неотрицательных чисел:
  
:::: if <tex>p|_{TL}(w)=1</tex>
+
  '''function'''  p(i: '''int'''): '''int'''
::::: выводим <tex>w</tex>;
+
  '''return''' i * 2
:::}
+
'''''}}
::}
 
:}
 
  
Если слово <tex>w</tex> принадлежит языку, то условие <tex>p|_{TL}(w)=1</tex> будет выполнено для какого-то <tex>TL</tex>, а значит на выходе построенной программы рано или поздно появится <tex>w</tex>. Если же слово <tex>w</tex> не принадлежит языку, то <tex>p|_{TL}(w)=1</tex> ну будет выполнено ни для какого <tex>TL</tex>, а значит оно никогда не появится на выходе.
+
== Примеры коперечислимых языков ==
  
Таким образом мы построили перечисляющую программу.
+
{{Утверждение
 +
|id=st2
 +
|statement=
 +
Язык нечётных неотрицательных чисел коперечислим.
 +
|proof=
 +
<tex>\overline L</tex> {{---}} язык чётных неотрицательных чисел. Так как язык чётных неотрицательных чисел перечислим, то и язык нечётных неотрицательных чисел тоже перечислим.
  
В итоге теорема доказана.
 
 
}}
 
}}
 +
{{Утверждение
 +
|id=st2
 +
|statement=
 +
Язык простых чисел коперечислим.
 +
|proof=
 +
Пусть <tex>L</tex> {{---}} язык простых чисел, тогда <tex>\overline L</tex> {{---}} язык, состоящий из составных чисел и единицы. Покажем, что <tex>\overline L</tex> полуразрешим, а, следовательно, и перечислим согласно теореме, приведённой выше.
 +
 +
Построим простой полуразрешитель:
 +
 +
'''function''' p(n: '''int'''): '''int'''
 +
  '''for''' i = 2 '''to''' <tex>\lceil \sqrt{n} \rceil</tex>
 +
    '''if''' n mod i == 0
 +
        '''return''' 0
 +
  '''return''' 1
 +
'''''}}
 +
 +
== Примеры неперечислимых языков ==
 +
 +
{{Утверждение
 +
|id=st2
 +
|statement=
 +
Язык пар <tex>\langle n, bb(n)\rangle</tex> неперечислим.
 +
|proof=
 +
Функция [[Busy_beaver | busy beaver]] <tex>bb(n)</tex> {{---}} невычислима, следовательно такой язык неперечислим.
 +
}}
 +
 +
== См. также ==
 +
 +
* [[Разрешимые (рекурсивные) языки]]
 +
* [[Замкнутость разрешимых и перечислимых языков относительно теоретико-множественных и алгебраических операций]]
 +
 +
== Источники информации ==
 +
* Н. К. Верещагин,  А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. {{---}} М.: МЦНМО, 1999. С. 134. ISBN 5-900916-36-7
 +
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Recursively_enumerable_language Wikipedia {{---}} Recursively enumerable language]
 +
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D1%8B%D0%B9_%D1%8F%D0%B7%D1%8B%D0%BA Википедия {{---}} Рекурсивно перечислимый язык]
 +
 +
[[Категория: Теория формальных языков]]
 +
[[Категория: Теория вычислимости]]
 +
[[Категория: Разрешимые и перечислимые языки]]

Текущая версия на 19:22, 4 сентября 2022

Основные определения

Определение:
Полуразрешимый язык (англ. semi-decidable language) — язык, для которого существует программа [math]p[/math] такая, что
  • [math]\forall x \in L \Leftrightarrow p(x)=1[/math],
  • [math]\forall x \notin L \Leftrightarrow p(x)=0[/math] или зависнет.


Определение:
Перечислимый язык (англ. recursively enumerable language) — язык, для которого существует программа [math]g[/math] такая, что [math]g(i) = x_i, L = \{x_1, x_2, .., x_n, ..\}[/math]. Язык [math]L[/math] называется коперечислимым (англ. co-enumerable), если [math]\overline L[/math] — перечислимый. Класс всех перечислимых языков называется [math] \mathrm{RE} [/math], а всех коперечислимих [math] \mathrm{co}[/math]-[math]\mathrm{RE}[/math] .


Определение:
Пусть имеется некоторая программа [math]p[/math], которая может либо завершиться за конечное время и что-то вернуть, либо зависнуть. Запуск программы [math]p[/math] с тайм-лимитом (англ. time limit) [math]TL[/math] будем обозначать как [math]p|_{TL}[/math] и иметь в виду следующее: если за [math]TL[/math] операций программа [math]p[/math] корректно завершилась и что-то вернула, то [math]p|_{TL}[/math] вернёт то же самое; если же за [math]TL[/math] операций программа [math]p[/math] не успела завершиться, то [math]p|_{TL}[/math] вернёт [math]\bot[/math] (символ зависания).


Теорема:
[math]L[/math] — перечислимый [math]\Leftrightarrow L[/math] — полуразрешимый.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] \Longrightarrow [/math]

Пусть [math]L[/math] — перечислимый язык. Тогда для него существует программа [math]g[/math], которая по номеру [math]i[/math] выводит слово из [math]L[/math]. Значит, для всех [math]x[/math] из [math]L[/math] путем перебора значений функции [math]g[/math] мы можем найти такое [math]i[/math], что [math] g(i) = x[/math]. Следовательно, существует программа [math]p[/math], такая, что [math]\forall x: x \in L \Leftrightarrow p(x)=1[/math]. Тогда [math]L[/math] является полуразрешимым языком.
function p(x: int): int
  for i = 1 to [math]\infty[/math]
    if  g(i) == x
      return 1

[math] \Longleftarrow [/math]

Пусть [math]L[/math] — полуразрешимый язык. Тогда для него существует программа [math]p[/math], результат которой равен [math]1[/math] для любого слова из [math]L[/math]. Чтобы программа [math]p[/math] не зависала на словах, которые не принадлежат [math]L[/math], будем запускать ее с тайм-лимитом. Для поиска [math]i[/math]-го слова из языка [math]L[/math] будем перебирать [math]k[/math] — тайм-лимит с которым будем запускать программу [math]p[/math]. Таким образом существует программа [math]g_0[/math], которая выводит [math]i[/math] слово языка [math]L[/math] с повторениями. Для того, чтобы выводить слова без повторений, заведем множество [math]U[/math], в котором будем хранить уже выведенные слова. Программа [math]g[/math] доказывает, что [math]L[/math] является перечислимым языком.
function [math]g_0[/math](i: int): int
  cnt = 0
  for k = 1 to [math] \infty[/math]
    for x [math]\in \{x_1, x_2, .., x_k\}[/math]
      if [math] p|_k[/math](x) == 1
        cnt++
      if cnt == i
        return x
function [math]g[/math](i: int): int
  [math]U = \emptyset[/math]
  for j = 1 to [math]\infty[/math]
    x = [math] g_0[/math](j)
    if x [math]\notin[/math] [math]U[/math]
      cnt++
    if cnt == i
      return x
    U.insert(x)
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Любой разрешимый язык [math]L[/math] является перечислимым.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Любой разрешимый язык [math]L[/math] является полуразрешимым. Так как любой полуразрешимый язык является перечислимым, то [math]L[/math] является перечислимым.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
[math]L[/math] — перечислим и коперечислим [math]\Rightarrow[/math] [math]L[/math]разрешим.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Рассмотрим полуразрешители для [math]L[/math] и [math]\overline L[/math] и одновременно запустим их для одного и того же элемента [math]x[/math]. [math]x[/math] принадлежит либо [math] L [/math], либо [math]\overline{L}[/math], поэтому один из полуразрешителей успешно отработает и не зависнет. Значит, мы за конечное время узнаем, лежит ли [math]x[/math] в [math]L[/math] или нет. Таким образом, мы построили разрешитель для [math]L[/math], то есть [math]L[/math] — разрешимый.
[math]\triangleleft[/math]

Примеры перечислимых языков

Утверждение:
Язык натуральных чисел перечислим.
[math]\triangleright[/math]

Приведём программу, перечисляющую язык натуральных чисел:

function p(i: int): int
  return i
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Язык чётных неотрицательных чисел перечислим.
[math]\triangleright[/math]

Приведём программу, перечисляющую язык чётных неотрицательных чисел:

function  p(i: int): int
  return i * 2
[math]\triangleleft[/math]

Примеры коперечислимых языков

Утверждение:
Язык нечётных неотрицательных чисел коперечислим.
[math]\triangleright[/math]
[math]\overline L[/math] — язык чётных неотрицательных чисел. Так как язык чётных неотрицательных чисел перечислим, то и язык нечётных неотрицательных чисел тоже перечислим.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Язык простых чисел коперечислим.
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]L[/math] — язык простых чисел, тогда [math]\overline L[/math] — язык, состоящий из составных чисел и единицы. Покажем, что [math]\overline L[/math] полуразрешим, а, следовательно, и перечислим согласно теореме, приведённой выше.

Построим простой полуразрешитель:

function p(n: int): int
  for i = 2 to [math]\lceil \sqrt{n} \rceil[/math]
    if n mod i == 0
       return 0
  return 1
[math]\triangleleft[/math]

Примеры неперечислимых языков

Утверждение:
Язык пар [math]\langle n, bb(n)\rangle[/math] неперечислим.
[math]\triangleright[/math]
Функция busy beaver [math]bb(n)[/math] — невычислима, следовательно такой язык неперечислим.
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Источники информации