Изменения

Перечисляющая '''Полуразрешимый язык''' (англ. ''semi-decidable language'') {{---}} язык, для которого существует программа для языка <tex>p</tex> такая, что* <tex>\forall x \in L\Leftrightarrow p(x)=1</tex> - программа, по очереди выводящая все слова языка * <tex>\forall x \notin L\Leftrightarrow p(x)=0</tex>. Если слово принадлежит языку, то программа за конечное время выдаст его на выходе. Слова, не принадлежащие языку, программа выводить не будетили зависнет.

Полуразрешающая '''Перечислимый язык''' (англ. ''recursively enumerable language'') {{---}} язык, для которого существует программа для языка <tex>g</tex> такая, что <tex>g(i) = x_i, L = \{x_1, x_2, .., x_n, ..\}</tex>. Язык <tex>L</tex> называется '''коперечислимым''' (англ. ''co- программаenumerable''), которая при подаче на вход слова из языка за конечное время завершится и вернет если <tex>\overline L</tex> {{---}} перечислимый. Класс всех перечислимых языков называется <tex>1\mathrm{RE} </tex>, а при подаче на вход слова не из языка может за конечное время вернуть всех коперечислимих <tex> \mathrm{co}</tex>-<tex>0\mathrm{RE}</tex>, а может и зависнуть.

Перечислимый язык - язык, для которого существует перечисляющая программа.}} {{Определение|definition =Перечислимый язык - язык, для которого существует полуразрешающая программа.}} {{Определение|definition =Пусть имеется некоторая программа <tex>p</tex>, которая может либо завершиться за конечное время и что-то вернуть, либо зависнуть. Тогда запуск Запуск программы <tex>p</tex> с '''тайм-лимитом ''' (англ. ''time limit'') <tex>TL</tex> будем обозначать как <tex>p|_{TL}</tex> и иметь в виду следующее: если за <tex>TL</tex> операций программа <tex>p</tex> корректно завершилась и что-то вернула, то <tex>p|_{TL}</tex> вернет вернёт то же самое; если же за <tex>TL</tex> операций программа <tex>p</tex> не успела завершиться, то <tex>p|_{TL}</tex> вернет вернёт <tex>\bot</tex> (специально зарезервированное значениесимвол зависания).

Два определения перечислимого языка эквивалентны<tex>L</tex> {{---}} перечислимый <tex>\Leftrightarrow L</tex> {{---}} полуразрешимый.

Пусть имеется перечисляющая программа для языка <tex>L\Longrightarrow </tex>, построим полуразрешающую. Сделаем это следующим образом. Получаем на вход некоторое слово <tex>w</tex>, запускаем перечисляющую программу. Если в процессе вывода слов встретится <tex>w</tex>, то завершаем работу, вернув <tex>1</tex>. Таким образом при подаче на вход слова из языка построенная программа вернет <tex>1</tex> и завершится. Если же мы подадим на вход слово не из языка, то построенная программа будет работать бесконечно долго, что вполне устраивает. Таким образом полуразрешающая программа построена.

Теперь пусть имеется полуразрешающая : Пусть <tex>L</tex> {{---}} перечислимый язык. Тогда для него существует программа <tex>pg</tex>, которая по номеру <tex>i</tex> выводит слово из <tex>L</tex> . Значит, для языка всех <tex>x</tex> из <tex>L</tex>путем перебора значений функции <tex>g</tex> мы можем найти такое <tex>i</tex>, что <tex> g(i) = x</tex>. Следовательно, существует программа <tex>p</tex>, такая, построим перечисляющуючто <tex>\forall x: x \in L \Leftrightarrow p(x)=1</tex>. Тогда <tex>L</tex> является полуразрешимым языком.

'''function''' p(x: '''int'''): '''int''' '''for <tex>TL</tex> ''' i = <tex>1</tex> .. '''to''' <tex>+\infty</tex> {:: for <tex>length</tex> '''if''' g(i) == <tex>x '''return''' 1</tex> .. <tex>TL</tex> {::: for <tex>w \in L</tex>, <tex>|w| = length</tex> {

<tex> \Longleftarrow </tex>:::: if Пусть <tex>L</tex> {{---}} полуразрешимый язык. Тогда для него существует программа <tex>p</tex>, результат которой равен <tex>1</tex> для любого слова из <tex>L</tex>. Чтобы программа <tex>p|_</tex> не зависала на словах, которые не принадлежат <tex>L</tex>, будем запускать ее с тайм-лимитом. Для поиска <tex>i</tex>-го слова из языка <tex>L</tex> будем перебирать <tex>k</tex> {{TL---}} тайм-лимит с которым будем запускать программу <tex>p</tex>. Таким образом существует программа <tex>g_0</tex>, которая выводит <tex>i</tex> слово языка <tex>L</tex> с повторениями. Для того, чтобы выводить слова без повторений, заведем множество <tex>U</tex>, в котором будем хранить уже выведенные слова. Программа <tex>g</tex> доказывает, что <tex>L</tex> является перечислимым языком.: '''function''' <tex>g_0</tex>(wi: '''int'''): '''int''' cnt = 0 '''for''' k =1'''to''' <tex> \infty</tex> '''for''' x <tex>\in \{x_1, x_2, .., x_k\}</tex>::::: выводим '''if''' <tex>wp|_k</tex>;(x) == 1:::} cnt++::} '''if''' cnt == i:} '''return''' x

Если слово '''function''' <tex>wg</tex> принадлежит языку, то условие <tex>p|_{TL}(wi: '''int''')=1</tex> будет выполнено для какого-то : '''int''' <tex>TLU = \emptyset</tex>, а значит на выходе построенной программы рано или поздно появится '''for''' j = 1 '''to''' <tex>w\infty</tex>. Если же слово x = <tex>wg_0</tex> не принадлежит языку, то (j) '''if''' x <tex>p|_{TL}(w)=1\notin</tex> ну будет выполнено ни для какого <tex>TLU</tex>, а значит оно никогда не появится на выходе cnt++ '''if''' cnt == i '''return''' x U.insert(x)'''''}}

Таким образом мы построили перечисляющую программу{{Теорема|id=th2|statement=Любой [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки | разрешимый язык]] <tex>L</tex> является перечислимым.|proof= Любой разрешимый язык <tex>L</tex> является полуразрешимым. Так как любой полуразрешимый язык является перечислимым, то <tex>L</tex> является перечислимым.}}

В итоге теорема доказана{{Теорема|statement=<tex>L</tex> {{---}} перечислим и коперечислим <tex>\Rightarrow</tex> <tex>L</tex> {{---}} [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки|разрешим]].|proof=Рассмотрим полуразрешители для <tex>L</tex> и <tex>\overline L</tex> и одновременно запустим их для одного и того же элемента <tex>x</tex>. <tex>x</tex> принадлежит либо <tex> L </tex>, либо <tex>\overline{L}</tex>, поэтому один из полуразрешителей успешно отработает и не зависнет. Значит, мы за конечное время узнаем, лежит ли <tex>x</tex> в <tex>L</tex> или нет. Таким образом, мы построили разрешитель для <tex>L</tex>, то есть <tex>L</tex> {{---}} разрешимый.

{{ТеоремаУтверждение|id=th2st2

Любой разрешимый язык <tex>L</tex> является перечислимымЯзык чётных неотрицательных чисел перечислим.

Язык <tex>L</tex> резрешимыйПриведём программу, значит существует программа <tex>p</tex>, которая за конечное время определит, принадлежит ли поданное на вход слово языку <tex>L</tex>. Таким образом перечисляющая программа будет иметь следующий вид.перечисляющую язык чётных неотрицательных чисел:

'''function''' p(i: for <tex>w \in L</tex> {'''int'''): '''int''' '''return''' i * 2'''''}}

:: if <tex>p(w)=1</tex>= Примеры коперечислимых языков == {{Утверждение|id=st2|statement=Язык нечётных неотрицательных чисел коперечислим.|proof=::: выводим <tex>w\overline L</tex>;:{{---}}язык чётных неотрицательных чисел. Так как язык чётных неотрицательных чисел перечислим, то и язык нечётных неотрицательных чисел тоже перечислим.

'''function''' p(n: '''int'''): '''int''' '''for''' i = 2 '''to''' <tex>\lceil \sqrt{n} \rceil</tex> '''if''' n mod i == 0 '''return''' 0 '''return''' 1'''''}} == Примеры неперечислимых языков == {{ТеоремаУтверждение|id=th3st2

Существуют перечислимыеЯзык пар <tex>\langle n, но не разрешимые языкиbb(n)\rangle</tex> неперечислим.|proof=Функция [[Busy_beaver | busy beaver]] <tex>bb(n)</tex> {{---}} невычислима, следовательно такой язык неперечислим.