Редактирование: Период и бордер, их связь

==Определения==
{{Определение
|definition =
Строка <tex>\alpha</tex> называется '''бордером''' строки <tex>\beta</tex>, если <tex>\alpha</tex> одновременно является и [[Основные определения, связанные со строками#Отношения между строками|суффиксом]], и [[Основные определения, связанные со строками#Отношения между строками|префиксом]] <tex>\beta</tex>.
|id=border
}}

{{Определение
|definition =
Число <tex>p</tex> называется '''периодом''' строки <tex>\alpha</tex>, если <tex>\forall i = 1 \ldots n - p</tex> <tex>\alpha [i] = \alpha[i + p]</tex>.
|id=border
}}

==Связь периода и бордера==
{{Теорема
|statement= Если у строки длины <tex>n</tex> есть [[Период_и_бордер,_их_связь#Определения|бордер]] длины <tex>k</tex>, то у нее есть [[Период_и_бордер,_их_связь#Определения|период]] длины <tex>n - k</tex>.
|proof=
Пусть дана строка <tex>\alpha</tex>.<br/>
Напишем формально определения бордера длины <tex>k</tex> строки <tex>\alpha</tex>:<br/>
<ul><tex>\forall i = 1 \ldots k</tex>, <tex>\alpha [i] = \alpha[i + (n - k)]</tex>.<br/></ul>
Сделаем замену <tex>x = n - k</tex>:<br/>
<ul><tex>\forall i = 1 \ldots n - x</tex>, <tex>\alpha [i] = \alpha[i + x]</tex>.</ul> 
Получили определение периода длины <tex>x</tex>. Но <tex>x = n - k</tex>, значит у строки <tex>\alpha</tex> есть период длины <tex>n - k</tex>.
}}

==Свойства периода==
==Теорема о кратном периоде==
{{Теорема
|statement= Если у строки есть [[Период_и_бордер,_их_связь#Определения|период]] длины <tex>k</tex>, то у нее есть период длины <tex>kx</tex>, где <tex> x \in N</tex>.
|proof=
Пусть длина строки равна <tex>n</tex>, сама строка {{---}} <tex>\alpha</tex>.

Доказательство будем вести индукцией по числу <tex>x</tex>.

* База
*: Для <tex> x = 1 </tex> утверждение очевидно.
* Переход
*: Пусть верно для <tex>x \leqslant m</tex>. Докажем, что верно для <tex>x = m + 1</tex>.
*: Из определения периода имеем
*: <tex>\forall i = 1 \ldots n - k</tex>, <tex>\alpha [i] = \alpha[i + k]</tex>,
*: а из предположения индукции
*: <tex>\forall i = 1 \ldots n - km</tex>, <tex>\alpha [i] = \alpha[i + mk]</tex>.
*: Значит получаем, что
*: <tex>\forall i = 1 \ldots n - km - k</tex>, <tex>\alpha [i] = \alpha [i + mk] = \alpha[i + mk + k]</tex>,
*: следовательно
*: <tex>\forall i = 1 \ldots n - k(m + 1)</tex>, <tex>\alpha [i] = \alpha[i + k(m + 1)]</tex>.
*: Значит у строки есть период длины <tex>k(m + 1)</tex>.

Утверждение доказано.
}}

==Теорема о НОД периодов==
Перед доказательством следующей теоремы докажем пару интуитивно понятных утверждений.

{{Лемма
|about=1
|statement= Пусть строка <tex> s </tex> имеет периоды <tex> p </tex> и <tex> q </tex>, причём <tex> p < q \leqslant |s| </tex>. Тогда суффикс и префикс <tex> s </tex> длины <tex> |s| - q </tex> имеют период <tex> p - q </tex>. 
|proof= Покажем истинность утверждения про префикс; с суффиксом доказательство аналогичное.

Требуется показать что <tex> s_i = s_{i+p-q} \ \ (i = 1,\dots,n-p\ , \ n=|s|) </tex> 

Поскольку <tex> s </tex> имеет период <tex> p </tex>, выполнено <tex> s_i = s_{i+p} </tex> 
Также <tex> s </tex> имеет период <tex> q </tex> и из ограничений на <tex> i </tex> верно <tex> 1 \leqslant i + p - q \leqslant n - q </tex>, поэтому <tex> s_{i+p-q} = s_{i+p} </tex>  
}}

{{Лемма
|about=2
|statement= Пусть строка <tex> w </tex> имеет период <tex> q </tex>, и существует <tex> v </tex> подстрока <tex> w </tex> такая, что <tex> |v| \geqslant q </tex> и <tex> v </tex> имеет период <tex> r </tex>, где <tex> q </tex> <tex dpi=90>\,\vdots\, </tex> <tex> r </tex>. Тогда <tex> w </tex> имеет период <tex> r </tex>.
|proof= Пусть <tex> w = s_1 \dots s_n,\ v = s_h \dots s_k </tex>, где <tex> 1 \leqslant h < k \leqslant n </tex>. 

Требуется показать: <tex> s_i = s_j \ (j = i + r,\ 1 \leqslant i, j \leqslant n) </tex>.

Заметим, что поскольку <tex> |v| \geqslant q </tex>, то отрезок <tex> [h, k] </tex> содержит ровно <tex> q </tex> целых чисел, так что найдутся <tex>  i',\ j' \in [h, k] </tex>  такие, что <tex> i \equiv i' \pmod q,\ j \equiv j' \pmod q </tex>.

Так как <tex> q </tex> <tex dpi=90>\,\vdots\, </tex> <tex> r </tex> , можем написать <tex> i \equiv i' \pmod r,\ j \equiv j' \pmod r </tex>. 

Помимо того <tex> i \equiv j \pmod r </tex>, тогда верно и <tex> i' \equiv j' \pmod r </tex>.

Теперь воспользуемся тем фактом, что если строка <tex> s </tex> имеет период <tex> r </tex>, то <tex> i \equiv j \pmod r \ \Rightarrow\ s_i = s_j </tex>  (действительно, без ограничения общности можем сказать, что <tex> i \leqslant j </tex>, тогда <tex> s_i = s_{i + r}, s_{i + r} = s_{i + 2r}, \dots, s_{j - r} = s_j </tex>).

Поскольку <tex> w </tex> имеет период <tex> q </tex>, имеют место равенства <tex> s_i = s_{i'}\ </tex> и <tex>\ s_j = s_{j'} </tex>. Поскольку <tex> v </tex> имеет период <tex> r </tex>, верно <tex> s_{i'} = s_{j'} </tex>. Тогда и <tex> s_i = s_j </tex>. 

}}


{{Теорема
|statement= Если у строки <tex>w</tex> есть периоды <tex>p</tex> и <tex>q</tex>, где <tex> |w| \geqslant p + q - \gcd(p, q) </tex>, то <tex>\gcd(p, q)</tex> также является периодом этой строки.
|author=Фин и Вильф
|proof=Обозначим <tex> r = \gcd(p, q) </tex>. Доказательство будем вести индукцией по <tex> n = (p + q) / r </tex>.
* База
*: При <tex> n = 1 </tex> видно, что <tex> p = q = r </tex> и потому утверждение истинно.
* Переход
*: Заметим что теперь <tex> q \ne p </tex> (так как <tex> n \ne 1 </tex>), поэтому без ограничения общности можем сказать, что <tex> q < p </tex>.
*: Пусть <tex> w = uv </tex>, где <tex> |u| = q </tex>. 
*: По '''лемме 1''' <tex> v </tex> имеет период <tex> p - q </tex>, также <tex> v </tex> имеет период <tex> q </tex> как подстрока <tex> w </tex>. Теперь рассмотрим длину <tex> v </tex>: 
*: <tex> |v| = |w| - q \geqslant (p - q) + q - r = (p - q) + q - \gcd(p - q, q) </tex>.
*: Тогда по предположению индукции получаем, что <tex> v </tex> также имеет период <tex> \gcd(p-q, q)</tex>. Поскольку <tex> \gcd(p-q, q) = \gcd(p, q) = r </tex>, можем сказать что <tex> v </tex> имеет период <tex> r </tex>.
*: Ещё заметим, что <tex> p - q \geqslant r </tex> (<tex> p > q </tex> и по свойствам НОД), поэтому <tex> |v| = |w| - q \geqslant (p + q - r) - q \geqslant q + (p - q) - r \geqslant q </tex>, тогда по '''лемме 2''' <tex> w </tex> имеет период <tex> r </tex>.

}}

Ограничение <tex> |w| \geqslant p + q - \gcd(p, q) </tex> существенно. Например строка <tex> w = abaababaaba </tex> имеет периоды <tex> 5 </tex> и <tex> 8 </tex>, её длина <tex> 11 < 5 + 8 - 1 </tex>, и периода <tex> 1 </tex> у неё нет.

== См. также ==
[[Основные определения, связанные со строками]]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Основные определения. Простые комбинаторные свойства слов]]